第二十八章 核心考点突破训练2022-2023九年级下册基础考点三步通关（人教版）

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第二十八章核心考点突破训练

考点1：求锐角三角函数值
典例：（2022·江苏苏州·九年级期中）中，，，则的值为______．
巩固练习
1．（2022·江苏泰州·九年级期中）在中，，，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）如图，内切于正方形中，与边相切的点分别为，对角线交于点，连接，则的值是______．

3．（2022·山东济宁·九年级期中）如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图，在正方形网格中，的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则的值为（　　）

A． B．2 C． D．
5．（2022·上海市民立中学九年级期中）在中，，，，那么的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，在中，，，，则的值为（   ）

A． B． C． D．
7．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）正方形网格中，如图所示放置（点O，A，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为（    ）

A． B． C． D．
8．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则的值为（    ）

A． B． C． D．
9．（2022·湖南永州·九年级期末）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，若是“好玩三角形”且，则（　　）
A． B． C．或 D．或
10．（2022·山东济南·九年级期中）如图，已知的三个顶点均在格点上，则___________．

11．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为______．

12．（2022·吉林·长春市第一〇八学校二模）如图，中，，若，则sin________

13．（2022·江苏·射阳外国语学校九年级期中）在中，已知，，则________．
考点2：已知锐角三角函数值求边长
典例：（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，等腰中，，，点D是上一点，，则AD的长为______．

巩固练习
1．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，在中，，点在上，，，则的值是______．

2．（2022·山东烟台·九年级期中）在中，，，，则的长为（    ）
A．5 B． C．45 D．
3．（2022·重庆市第十一中学校九年级期中）如图，在中，，，则的长为（   ）

A． B．3 C． D．2
4．（2022·四川省成都市七中育才学校九年级期中）如图，在中，，，，则的长为（   ）

A．9 B．10 C．12 D．13
5．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为（　　）

A．2 B． C． D．
6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为___________．

7．（2022·上海虹口·九年级期中）已知中，，，，那么的长是 ___________．
8．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OBCA是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC交于点F，若点F为BC的中点，且的面积为12，则的值为___________．

9．（2022·上海奉贤·九年级期中）已知：如图，在中，，．求：

(1)；
(2)的余弦值．
10．（2022·内蒙古包头·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径10，，求线段DH的长．
11．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）如图，已知的边是⊙O的切线，切点为E，经过圆心O并与圆相交于点F，交于D，连接，且．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
12．（2022·宁夏·银川外国语实验学校三模）如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求OE的长．
13．（2022·陕西师大附中九年级期中）图，在中，，点是的中点，连接，点是的中点，延长至，使，连接、，与交于点，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求三角形的面积．
14．（2022·广西玉林·二模）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求平行四边形的面积．
考点3：特殊角三角函数值的应用
典例：（2020·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学二模）计算： ．
巩固练习
1．（2022·四川宜宾·二模）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足＋(－cosB)2＝0，则∠A的度数为(　　)
A．100° B．105° C．90° D．60°
2．（2022·山东菏泽·九年级期中）在中，，，则的度数是（    ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2022·山东济南·九年级期中）已知是锐角，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·菏泽市定陶区教育局教研室九年级期中）如果成立，那么锐角的度数应是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·山东济南·九年级期中）已知＞，那么锐角a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·山东青岛·九年级期中）中，均为锐角，且，则的形状是______．
7．（2022·上海市华东模范中学九年级期中）在中，，则的形状是__________．
8．（2022·上海·九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
9．（2022·山东东营·九年级期中）在△ABC中，若，则∠C的度数是_____．
10．（2022·上海市省吾中学九年级期中）在中，，，则的度数为________．
11．（2022·河北秦皇岛·九年级期中）在中，，a，b，c分别是的对边．已知，那么__________．
【答案】##45度
12．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，则的度数为______．

13．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知的两条弦为、，连接半径、、，若，则的度数为______．

14．（2022·四川·渠县东安雄才学校九年级期中）如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．

15．（2022·山东济南·九年级期中）计算：
16．（2020·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学三模）计算：
17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学三模）计算：
18．（2021·新疆·乌鲁木齐市第126中学三模）计算：
考点4：仰角俯角问题
典例：（2022·浙江舟山·二模）我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）

(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
巩固练习
1．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（　　）

A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
2．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，设太阳光线与地面的夹角为，测得，，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 _____m．

3．（2022·四川省成都市七中育才学校九年级期中）七中育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走7米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上．

(1)求的度数；
(2)求新教学楼的高度．(参考数据：，，，结果精确到m)．
4．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——明堂天堂．现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红地、如图，天堂外观5层，内部9层，由建筑主体、台基和宝顶三部分组成．为测量天堂（左边较高的建筑物）的高度，几名中学生在天堂旁边明堂的台基处测得天堂建筑主体顶端处的仰角为，往前水平行进14米至处，测得天堂顶端点的仰角为，已知天堂宝顶高米，明堂台基距地面的高为10米，请计算天堂的高的值．
（结果精确到1米；参考数据：，，，）

5．（2022·山东泰安·九年级期中）如图所示，某集团项目部计划在写字楼顶层修建停车场，现利用无人机测量的高度．无人机沿水平直线飞行至点处测得正前方水平方向与写字楼的顶端的俯角为32°，继续沿正前方飞行60米至点处，测得该写字楼底端的俯角为45°，已知无人机飞行的高度为300米，求写字楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）

6．（2022·四川·成都西川中学三模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为测温门示意图，已知测温门的顶部A处距地面高为2.2m．某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践：身高1.6m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求该组员在地面的有效测温区间的长度．（参考数据：，，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1m）

7．（2022·山东·青岛三十七中二模）某地惊现震撼的裸眼超清巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡，小丽想了解该屏的高度，进行了实地测量，她从大楼底部点沿水平直线步行米到达台阶底端点，在点测得屏幕下端点的仰角为，然后她再沿着长度为米的自动扶梯到达扶梯顶端点，又沿水平直线行走了米到达点，在点测得屏幕上端点的仰角为在同一个平面内，且E，F和C，D、G分别在同一水平线上，则该屏的高度约为多少米？结果精确到，参考数据，，，，

8．（2022·重庆市第三十七中学校二模）如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，）

(1)求C处距离水平地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
9．（2022·山东济南·九年级期中）如图，某数学研究小组测量山体的高度，在点处测得山体的仰角为，沿方向前行20 m至点处，斜坡的坡度为，在观景台处测得山顶的仰角为，且点到水平地面的垂直距离为10 m．点，，在一条直线上，，，在同一竖直平面内．

(1)求斜坡的水平宽度的长；
(2)求山体的高度．（结果精确到1 m．参考数据，，，）
考点5：方位角问题
典例：（2022·重庆·二模）一天，爸爸带着他的一儿一女去海边玩，爸爸和哥哥在距海岸线（抽象为直线l）一定距离的A处休息，妹妹带上游泳圈在距海岸线40米的B处游泳．过了一会儿，海浪逐渐变大，妹妹由于过度紧张，无法继续游动，只好在B处呼救，爸爸和哥哥听到妹妹呼救，立刻起身．情急之下，哥哥沿AB方向奔跑，由E处下海，沿EB游向妹妹；爸爸沿AD方向奔跑，由D处下海，再沿DB游向妹妹．如图所示，BD⊥l于点D，点B在点A北偏西37°方向，点D在点A北偏西60°方向，A、E、B三点共线．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，1.73）

(1)求点A到海岸线的距离（结果精确到0.1米）；
(2)若爸爸和哥哥在沙滩上奔跑的速度均为2m/s，在水中游泳的速度均为0.5m/s，请用数据说明，爸爸和哥哥谁先到达妹妹身边？
巩固练习
1．（2022·江苏苏州·九年级期中）一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船处，()

2．（2022·山东潍坊·九年级期中）如图，小莹沿一条笔直的小路自西向东步行，小莹在A处测得旗杆C在北偏东方向，30分钟后小莹到达B处，测得旗杆C在北偏西方向，小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1000米，则小莹步行的速度为_________________米/分钟．（参考数据：）

3．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

4．（2022·四川遂宁·九年级专题练习）如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D点处各有一株古树．已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B两株古树之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：≈1.41，≈1.73，sin42°，cos42°≈，tan42°≈．

5．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．

(1)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
(2)渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
6．（2022·河北·石家庄市第十九中学九年级期中）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．

(1)求A、P之间的距离；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
7．（2022·重庆八中模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）
8．（2022·重庆八中九年级期中）如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向．（参考数据：，，）

(1)求的距离；（结果保留整数）
(2)渔船在B处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．
9．（2022·重庆巴蜀中学九年级期中）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时候渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，）

(1)求B处距离小岛C的距离（求出准确值）；
(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？
10．（2022·重庆一中九年级期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处，烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进，15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．

(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．（参考数据：，结果保留两位小数）
考点6：解直角三角形其它应用问题
典例：（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．

(1)求DE的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
巩固练习
1．（2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中）如图，沿方向架桥，以桥两端出发，修公路和，测得，m，，则公路的长为（    ）

A．900m B．m C．m D．1800m
2．（2022·广西贵港·九年级期中）桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A，B两处的距离为，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿与绳子的夹角为，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：）

3．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管，且上管与立管互相垂直，下管，座管可以伸缩，点在同一条直线上，且．若座管伸长到，则座垫到后下叉的距离为______．（结果精确到1，参考数据，，）

4．（2022·浙江温州·八年级期中）如图是某小车侧面示意图，图是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示单位：且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动，即分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，，那么的长为______，的长为______．

5．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是(包括)，高度的范围是(包括)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定，（结果精确到，参考数据：，)

6．（2022·江苏苏州·九年级期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮，与水平地面切于点D，，某一时刻，点B距离水平地面，点C距离水平地面．

(1)求圆形滚轮的半径的长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面，求此时拉杆箱与水平面所成角的大小（精确到，参考数据：，，）．
7．（2022·江苏苏州·九年级期中）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为米，主臂伸展角α的范围是：，伸展臂伸展角β的范围是：．

(1)如图3，当时，伸展臂恰好垂直并接触地面，伸展臂长为 　 　米；
(2)若（1）中长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）
8．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．

(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：）
9．（2022·宁夏·银川市第十五中学一模）如图是十五中行政楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图（参考数据：，，）

(1)求开门过程中B与C走过的路径之和；
(2)此时B与C之间的距离为多少？（结果保留一位小数）
10．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了角，即，使光影落在C点正上方的D点，测得cm．求平面镜放置点与墙面的距离．（参考数据：）

11．（2022·上海·九年级专题练习）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“”的度数处于 到 之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．

(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到，参考数据： ， ，， ，，，，）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少，今年这款激光电视每台的售价是多少元？