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一元函数的导数及其应用 章节综合测试（专题15）-高考数学25个必考点
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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023下·广西玉林·高二校考期中），则（ ）
A．B．2C．D．6
2．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
6．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
7．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．e
11．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，是的极值点
C．若有3个零点，则的范围为
D．时.有唯一零点且
12．（2023上·江苏南京·高二期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
14．（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
15．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是 .
16．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·上海·高二校考阶段练习）（1）已知函数，求；
（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.
18．（2023上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．
(1)求曲线的斜率等于的切线方程；
(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
19．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值与函数的单调区间.
(2)求该函数在的极值和单调性.
(3)设，若恒成立，求的取值范围.
20．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
21．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
22．（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，数列满足，且，证明：；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围．圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023下·广西玉林·高二校考期中），则（ ）
A．B．2C．D．6
2．（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
6．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
7．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．e
11．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，是的极值点
C．若有3个零点，则的范围为
D．时.有唯一零点且
12．（2023上·江苏南京·高二期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
14．（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
15．（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是 .
16．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·上海·高二校考阶段练习）（1）已知函数，求；
（2）已知曲线，求曲线在处的切线方程.
18．（2023上·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）己知函数．
(1)求曲线的斜率等于的切线方程；
(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
19．（2023下·上海普陀·高二校考期中）已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值与函数的单调区间.
(2)求该函数在的极值和单调性.
(3)设，若恒成立，求的取值范围.
20．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
21．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
22．（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，数列满足，且，证明：；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围．圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数
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