1、第三章 一元函数的导数及其应用（基础卷）-【章节诊断—新教材新高考】备战2023年高考数学一轮复习章节诊断卷（新高考专版）

第三章 一元函数的导数及其应用（基础卷）

 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（2022·重庆·高二阶段练习）若函数在处可导，且，则（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

由导数定义可得，

所以．

故选：A．

2．（2022·天津·崇化中学高二期中）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】D

由得，设点，则，将代入中即可得

故;当时，切线方程为，不符合，舍去.所以点.

故选：D

3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知函数，则（       ）

A．2022 B．2021 C．2020 D．2019

【答案】B

由已知条件得，

则，

解得，

故选：.

4．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数在R上单週递增，则（       ）

A． B．0 C． D．

【答案】A

，

∵函数在R上单调递增，

∴在R上恒成立，

∴，且，解得，

故选：A．

5．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，

则，即，解得.

故选：B.

6．（2022·河南·模拟预测（理））函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

，所以是奇函数，排除CD，

又，所以是增函数，排除A，选B．

故选：B．

7．（2022·重庆·高二阶段练习）设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

根据题意，，则，

构造函数，所以恒成立，

所以在上单调递增，所以，即，所以，故.

故选：A

8．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

，则

∵存在实数，使得，即

则

构建，则

令，则或（舍去）

在单调递减，在上单调递增，则

即

故选：D．

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（2022·福建·福州三中高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．在区间内有个极值点

D．的图象在点处的切线的斜率大于

【答案】ACD

由图象可知：当时，；当时，；

在，上单调递增；在上单调递减；

对于A，，，A正确；

对于B，，，B错误；

对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C正确；

对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D正确.

故选：ACD.

10．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

由题，，，

若在上为“凸函数”，则在上成立，

即，，

令，，则，所以在上单调递增，

所以，

所以，为充要条件，

由选项可知，必要不充分条件可以是：或，

故选：AD.

11．（2022·福建省厦门集美中学高二期中）已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（       ）

A．函数有极小值，但无最小值

B．函数有极大值，但无最大值

C．若方程恰有一个实数根，则

D．若方程恰有三个不同实数根，则

【答案】BD

解： 由题意得．令，即，解得或．则当或时，，函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以函数在处取得极大值，在处取得极小值．又时，；时．作出函数的大致图象如下图所示：

因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值．若方程恰有一个实数根，则或；若方程恰有三个不同实数根，则．

故选：BD

12．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习）是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，，，则错误的有（          ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

解：令，得，

由时，，得，在上单调递减，

又，，，

可得，故，故，

故选：ABD

三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13．（2022·天津市梅江中学高二期中）已知函数，为的导函数，则_________．

【答案】

∵，∴，∴．

故答案为：．

14．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是______.

【答案】

函数定义域为，导函数为，

使得存在垂直于轴的切线，即有正解，可得有解，

因为，所以，当且仅当“，即”时等号成立，

所以实数的取值范围是

故答案为：

15．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．

【答案】3

函数在上无极值即导函数在上无根．

在上恒有 ①；

而，

当时，①式解为或；显然时，①式不成立；

当时，①式解为或；显然时，①式不成立；

当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．

故答案为：3．

16．（2022·北京·一模）已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.

【答案】         

当时，

则不等式可转化为或

解得或，

所以，则不等式的解集为；

由题意可知的零点个数可转为与的零点个数之和，

当时，没有零点，没有零点，

此时没有零点；

当时，没有零点，有且仅有一个零点，

此时只有一个零点；

当时，没有零点，

由可得，令，

则，

易知在上单调递减，在单调递增，

；

此时要有两个零点则必有；

综上所述若恰有两个零点，则的取值范围为.

故答案为：；

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17．（2022·重庆·高二阶段练习）若函数，当时函数有极值.

(1)求函数的解析式；

(2)求曲线过点的切线方程.

【答案】(1)(2)

(1)，由题意得：

，解得：，

所以，

经验证：是函数的极小值点，所以满足要求.

(2)由（1）知：，

，

所以在点的切线方程为，

即.

18．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）已知函数，a，．若在处与直线相切．

(1)求a，b的值；

(2)求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)，

(1)解：函数，，

函数在处与直线相切，

，解得；

(2)解：由（1）可得，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值，

所以，又，

所以

19．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）已知函数.

(1)若函数在点处切线的斜率为，求实数的值；

(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

(1) ，而 ，即，解得；

(2)，于是 ，

因为函数在上是减函数，即 在上恒成立，

即在上恒成立，

，所以有在上恒成立，

，设，则 ，

所以有， ，

当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，

综上，；实数的取值范围是.

20．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））某商场销售某种商品，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：百元/件）满足关系式，其中，a为常数．已知销售价格为6百元/件时，每日可售出该商品11件．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为4百元/件，当销售价格x为多少百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)销售价格为5百元或8百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大为42百元

(1)由题意得，，解得．

(2)由（1）得，

商场每日销售该商品所获得的利润为，

∴，令，解得或7，

列表得x，，的变化情况如下：

∵，，

故销售价格为5百元或8百元时商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为42百元．

21．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)(2)

(1) 定义域为，

即

解得

所以在单调递增

(2)对任意，不等式恒成立，即恒成立，

分离参数得.

令，则．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以，

即，

故a的取值范围是.

22．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若在上有且只有一个零点，求在上的最大值与最小值的和．

【答案】(1)答案见解析；(2).

(1)，

当时，，∴在R上是单调增函数.

当，此时，当或时，，时，，

在和上单调递增，在上单调递减.

当时，，当或，，，，

在和上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在R上是单调增函数，

当时，在和上单调递增，在上单调递减，

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

(2)由（1）知，当时，在上单调递增，又，

所以此时在内无零点，不满足题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

又在内有且只有一个零点，所以，得，

所以,则，

当时，，单调递增，当时,，单调递减.

则，则，

所以在上的最大值与最小值的和为.