人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用巩固练习

第六章 平面几何及其应用

6.4.3 余弦定理、正弦定理

一、基础巩固

1．在中，下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；

对于选项B：因为，故，故选项B错误；

对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；

对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；

2．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

在中，若，

所以，

又因为，

所以.

3．在中，若，，则外接圆的半径为（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】C

【详解】

在中，若，，所以，

由正弦定理，所以．

4．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（    ）

A．60° B．120° C．60°或120° D．135°

【答案】C

【详解】

，，，

由正弦定理得,

,，

45

或，

5．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（    ）

A．或 B．

C． D．以上都不对

【答案】C

【详解】

在中，由正弦定理可得：得，

解得：，

因为，所以，所以，

6．的三边满足，则的最大内角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由余弦定理可得，，，

因此，的最大内角为.

7．的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，的面积为2，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【详解】

，∴，∵，

∴或，∴或，

∴或.

8．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

在中，，，，

由余弦定理可得，解得，则，所以，，

因此，.

9．在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为

所以由正弦定理可得，因为，所以

因为角A为锐角，所以

10．(多选)对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若是锐角三角形，则不等式恒成立

C．若，则为钝角三角形

D．若，，，则的面积为或

【答案】BCD

【详解】

对于．

对A，，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；

对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；

对C，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；

对D，，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．

综上可得：只有BCD正确．

11．(多选)在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值是 B．的最大值是

C．的最小值是 D．的最小值是

【答案】AD

【详解】

由题意知，

由角平分线的性质以及面积公式可得，

化简得，

，当且仅当时成立，解得，故A正确，B错误；

，，

，

当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确.

12．(多选)如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（    ）

A． B．BD=2

C． D．△CBD的面积为

【答案】AC

【详解】

解：由，得：，

又角为钝角，

解得：，

由余弦定理，得：，

解得，可知为等腰三角形，即，

所以，

解得，故正确，

可得，

在中，，得，可得，故错误，

，可得，可得，故正确，

所以的面积为，故错误

二、拓展提升

13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值；

（3）若，，求边a的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】

（1）由正弦定理有：，而为的内角，

∴，即，由，可得，

（2），

∵，，可得，而，

∴，

（3）由余弦定理知：，又，，，

∴，可得.

14．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.

【详解】

（Ⅰ）∵，整理得，

∴，

∴．

（Ⅱ）由正弦定理，得，而，

∴，即，

∴，

∴，

∴为等边三角形．

15．在①，②;③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.

问题:已知的内角的对边分别为，________，角的平分线交于点，求的长.

(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

【答案】.

【详解】

若选条件①：由，可得

因为，

所以

在中，由

所以，

所以

(法一）因为为角平分线，

所以，

故，

在中，，

可得

(法二）因为为角平分线，

所以，

因为

所以，

解得

若选条件②：由，

可得，

因为

所以，

可得，

因为，

所以

故，

可得.

（下同条件①)

若选条件③:由，可得，

在中，由，

所以，

所以.

（下同条件①).