2023高考数学二轮复习专题20 解三角形（原卷版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题20 解三角形（原卷版），共17页。

专题20 解三角形
【考点预测】
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式

；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；

；
；
.
（2）面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边

③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
知识点三：实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【方法技巧与总结】
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式





解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.

【题型归纳目录】
题型一：正弦定理的应用
题型二：余弦定理的应用
题型三：判断三角形的形状
题型四：正、余弦定理与的综合
题型五：解三角形的实际应用
题型六：倍角关系
题型七：三角形解的个数
题型八：三角形中的面积与周长问题
【典例例题】
题型一：正弦定理的应用
例1．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）在中，，，则外接圆的半径为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．




例3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．



例4．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
若，角C为钝角，.
(1)求的值；
(2)求边c的长.


例5．（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求边，的值．


例6．（2022·青海西宁·二模（理））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？



【方法技巧与总结】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；.

（3）两边一对角，求第三边.
题型二：余弦定理的应用
例7．（2022·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（       ）
A．1 B． C． D．
例8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（       ）
A． B． C． D．
例10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
【方法技巧与总结】
(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
题型三：判断三角形的形状
例11．（2022·吉林·三模（理））在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（       ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
例12．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（       ）
A．等边三角形
B．C为直角的直角三角形
C．C为顶角的等腰三角形
D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形
例13．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知中，三内角满足，三边满足，则是（       ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
例15．（2022·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（       ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
例16．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（       ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形


【方法技巧与总结】
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.
题型四：正、余弦定理与的综合
例17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．

(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．





例18．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.


例19．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，_____?



例20．（2022·全国·高三专题练习）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.


例21．（2022·江苏泰州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知边上的高等于a．
(1)求证：；
(2)若，求的值．


例22．（2022·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值．

【方法技巧与总结】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
题型五：解三角形的实际应用
例23．（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.


(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.


例24．（2022·上海市建平中学高三期中）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.


(1)求A、B两点间的距离；
(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
例25．（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.

(1)求、两地之间的距离；
(2)求.


例26．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.
(1)求的值；
(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.


例27．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.


例28．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°.

(1)求与两点间的距离（结果精确到）；
(2)求塔高（结果精确到）.
参考数据：取，，.
【方法技巧与总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.
题型六：倍角关系
例29．（2022·北京丰台·二模）在中，，，，则______．
例30．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：


例31．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求的面积；
(2)若，且的边长均为正整数，求．


例32．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若，，的外接圆半径为，，求的大小；
(2)若，，，求边的长.
例33．（2022·山东·高三开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且．
(1)若角B为钝角，求△ABC的面积；
(2)若，求a．


例34．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)求的值.



题型七：三角形解的个数
例35．（2022·江西·二模（文））设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
例36．（2022·全国·模拟预测（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（       ）
A．4 B． C． D．
例37．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（       ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
例38．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例39．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（     ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．③④
题型八：三角形中的面积与周长问题
例40．（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．


例41．（2022·全国·模拟预测）从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．
已知锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角B；
(2)已知，且______，求的值及的面积．



例42．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．


例43．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．．
(1)求的值；
(2)若，，，求c和面积S的值．

例44．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，．请再从条件①：，；条件②：，．这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)c和面积S的值．


例45．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．



例46．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.


例47．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.


例48．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知的内角的对边分别为，，
(1)求；
(2)若为锐角，求的面积．




例49．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（       ）（精确到）

A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（       ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西宜春·模拟预测（文））的内角的对边分别为，若，，，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则（       ）
A．16 B．9 C．－9 D．－16
7．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（       ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，三边长满足，则的值为（       ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
10．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（       ）
A．外接圆半径为 B．内切圆半径为
C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（       ）
A．则为等边三角形；
B．已知，则；
C．已知，，，则最小内角的度数为；
D．在，，，解三角形有两解．
12．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，则下列结论可能成立的是（       ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．
14．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为______．
15．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．

16．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则___________．
四、解答题
17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形中，，三角形的面积．
(1)若，求；
(2)若，求．
18．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）．
(1)求三角形花园的面积（精确到平方米）；
(2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）．
19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期以及在上的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求c的值．
20．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为4，求BC边上的高．
21．（2022·全国·模拟预测）在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
22．（2022·重庆·高三阶段练习）已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.
(1)求c；
(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.