【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——12 解三角形 （原卷版 解析版）

重难点12  解三角形

1．正弦定理

(1)定理：在△ABC中，＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）。

(2)运用方法

适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)。

列方程：＝。

(3)变形：a＝2Rsin_A，sin A＝，a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C等等。

2．余弦定理

(1)定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，

b2＝c2＋a2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos_C。

(2)运用方法

适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)。

列方程：a2＝b2＋c2－2bccos A或cos A＝。

(3)变形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A等等。

3．三角形面积公式

(1)正弦定理推论：S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B。

(2)其他常用公式方法：S＝底×高；S＝×C×r(C为周长，r为内切圆半径)等等。

4.判断三角形的形状主要从两个角度考虑

（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。

5.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”

（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；

（2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.

2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a =，b = 1，则c =（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】解法一：（余弦定理）由得：

，，或（舍.

解法二：（正弦定理）由，得：，

，

，，从而，

，.

故选：D

2．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在中，，，

根据余弦定理：

可得 ，即

由

故.

故选：A.

3．如图，在△中，是边上的点，且，

则的值为（ ）

A． B．

C． D．无解

【答案】D

【解析】

，无解.

故选D.

4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，成等差数列，，平方得，

又的面积为，且，故由，

得，，

由余弦定理得，

解得，又为边长，，

故选.

5．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（    ）

A．60米 B．61米 C．62米 D．63米

【答案】D

【解析】解：根据题意，，，

所以，解得．

故选：D.

6．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（     ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】由正弦定理有.又,

故.

故选：D

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【解析】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

8．在中，若，则的形状是 （ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．不能确定.

【答案】A

【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，

得，

所以三角形是钝角三角形，故选A.

9．在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（    ）．

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】解：，

，即，

且有意义即，

，

在中，为或，

故选：．

10．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ）

A．3 B． C．3或 D．-3或

【答案】A

【解析】，，

，

，

，，

，

，

故选：A.

11．在ABC中，．则的取值范围是（ ）

A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）

【答案】C

【解析】由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.

12．知为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角的大小分别为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得

即

所以角，

因为

所以可得

二、填空题

13．在△中，，，，等于______．

【答案】

【解析】，

由正弦定理可知，，

∴.

故答案为：

14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

【答案】

【解析】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

15．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】

【解析】，，，

由勾股定理得，

同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，

在中，，，，

由余弦定理得.

故答案为：.

16．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式

由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

故答案为：.

［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式

由三角形内角平分线性质得向量式．

因为，所以，化简得，即，亦即，

所以，

当且仅当，即时取等号．

［方法三］：解析法＋基本不等式

如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．

下同方法一．

［方法四］：角平分线定理＋基本不等式

在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．

［方法五］：正弦定理＋基本不等式

在与中，由正弦定理得．

在中，由正弦定理得．

所以，由正弦定理得，即，下同方法一．

［方法六］： 相似＋基本不等式

如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．

由，得，即，从而．下同方法一．

三、解答题

17．在中，，．

(1)求的值．

(2)设，求的面积．

【答案】(1)；(2)

【解析】（1），，，，，，

.

（2）由正弦定理得：；

.

18．在中，，．

（1）求；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．

条件①：；

条件②：的周长为；

条件③：的面积为；

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【解析】（1），则由正弦定理可得，

，，，，

，解得；

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，

与矛盾，故这样的不存在；

若选择②：由（1）可得，

设的外接圆半径为，

则由正弦定理可得，

，

则周长，

解得，则，

由余弦定理可得边上的中线的长度为：

；

若选择③：由（1）可得，即，

则，解得，

则由余弦定理可得边上的中线的长度为：

.