2023高考数学二轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用（原卷版）

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专题22 平面向量的数量积及其应用
【考点预测】
一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模


数量积


夹角


的充要
条件


的充要



条件


与
的关系
(当且仅当时等号成立)

五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
【方法技巧与总结】
(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
(3)根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
(4)若、、是实数，则()；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(5)数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．


【题型归纳目录】
题型一：平面向量的数量积运算
题型二：平面向量的夹角
题型三：平面向量的模长
题型四：平面向量的投影、投影向量
题型五：平面向量的垂直问题
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例例题】
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2022·全国·模拟预测（理））在中，，为的外心，，，则（       ）
A．2 B． C．4 D．

例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（       ）
A． B． C．2 D．4

例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量满足，则（       ）
A． B． C．1 D．2

例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．


例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量满足，则_________．

例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量，，若，则__________

例7．（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．

例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形中，
，则值为__________．

例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，___________.

例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量与不共线，且，，若，则___________.

例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则______．


【方法技巧与总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量，满足，，则与夹角为______．

例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.

例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量，，满足，且，，则（       ）
A． B． C． D．

例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量，，则与夹角的余弦值为_________．

例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则（       ）
A． B． C．5 D．6

例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（       ）
A． B．
C． D．

例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°

例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知为单位向量，向量，且，则（       ）
A． B． C． D．

例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．

例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底

例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（       ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是

例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．

例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．

例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.
题型三：平面向量的模长
例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量、、满足，，，则______．

例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量满足，则_______．

例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量，则（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5

例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3

例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）
A． B． C． D．3

例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量，的夹角为，，则___________.

例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．

例35．（2022·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，求及的值．

例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=___________.

【方法技巧与总结】
求模长，用平方，.
题型四：平面向量的投影、投影向量
例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .


例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量，则在方向上的投影为_________

例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量，，且在上的投影等于，则___________.

例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（       ）
A．-1 B．2 C．3 D．

例41．（2022·四川成都·三模（理））在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（       ）．
A． B．2 C． D．

例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量，则在方向上的投影为（       ）
A． B． C．1 D．2

例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（       ）
A． B． C． D．

例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．

例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（       ）
A． B． C． D．


题型五：平面向量的垂直问题
例46．（2022·海南海口·二模）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．

例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量（t，2t），＝（﹣t，1），若（﹣）⊥（+），则t＝_____．

例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量，，若，则______．

例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（       ）
A． B． C． D．

例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量，其中，若，则___________．

例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量，，若，则___________.

【方法技巧与总结】

题型六：建立坐标系解决向量问题
例52．（2022·山东淄博·三模）如图在中，，为中点，，，，则（       ）

A． B． C． D．
例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形中，是的中点，则（       ）
A．2 B． C． D．4

例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（       ）

A． B． C． D．

例55．（2022·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（       ）
A． B．
C． D．

例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形中，，，则（       ）
A． B．
C． D．

例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量满足，则可能成立的结果为（       ）
A． B．
C． D．

例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（       ）

A． B．
C． D．

例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．

例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.

例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.


【方法技巧与总结】

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形

平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山东潍坊·模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知中，，，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量，，若，则（       ）
A． B．2 C．8 D．
4．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量，满足，，，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（       ）
A． B．
C．方向上的投影是 D．
7．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（       ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东济南·三模）已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为(       )
A． B． C． D．
10．（2022·河北邯郸·二模）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（       ）.
A． B． C． D．
11．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则（       ）

A． B． C． D．
13．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在中，点D在边上，且，若，则（       ）
A． B．3 C．2 D．1
14．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（       ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、多选题
15．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（       ）
A．4 B．8 C．12 D．16
16．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
17．（2022·全国·高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（       ）
A． B．
C．若，则 D．
18．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为7 D．若，则与的夹角为钝角
19．（2022·辽宁·东北育才学校二模）对于非零向量，，定义运算“”，.已知两两不共线的三个向量，，，则下列结论正确的是（       ）
A．若，则 B．
C． D．
20．（2022·山东日照·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（       ）
A． B．
C． D．点的坐标为
21．（2022·河北·高三阶段练习）若平面向量
，则下列说法中正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
22．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2且，M为边CD的中点，则（       ）

A． B．
C．6 D．在上投影向量的模为2
三、填空题
23．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，若，则______．
24．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知向量若则__________.
25．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，，，则___________．
26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为非零向量，且，则，的夹角为___________.
27．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则_______．
28．（2022·河南·模拟预测（文））若向量满足，则与的夹角为__________．
29．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知平面向量，满足，且，，则__________.
30．（2022·河北·高三期中）如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点，将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则_____________．