2023高考数学二轮复习专题01 集合（原卷版）

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1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. 数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧与总结】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
【题型归纳目录】
题型一：集合的表示
题型二：集合元素的特征
题型三：集合的关系
题型四：集合的运算
题型五：集合与排列组合
题型六：新定义
【题型一】集合的表示
【典例例题】
例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1.列举法，注意元素互异性和无序性
2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素
例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．B．C．D．无数个
例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例6．（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型二】 集合元素的特征
【典例例题】
例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
例9．（2022··模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例10．（2022·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例11．（2022·全国·高三专题练习）函数，则集合元素的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
例12．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．
【题型三】 集合的关系
【典例例题】
例13．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知集合，则的子集个数为（ ）
A．B．8C．D．
【方法技巧与总结】
1.注意子集和真子集的区别和练习
2.判断集合之间的关系：
（1）定义判断
（2）数形结合判断
例14．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例16．（2022·浙江·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
（多选题）例17．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
例18．（2022·浙江·高三专题练习）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).
【题型四】 集合的运算-
【典例例题】
（多选题）例19．（2022·全国·高三专题练习）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
1.注意并集与交集的大小关系
2.补集和全集是不可分割的两个概念例20．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例21．（2022·天津和平·二模）已知全集为，集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
例22．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知集合，全集，则（ ）
A．B．C．D．
例23．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．，B．，，C．，D．，，
（多选题）例24．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
例25．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________
例26．（2022·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
【题型五】 集合与排列组合
【典例例题】
例27．（2022·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想
例28．（2022·全国·高三专题练习（理））设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
例29．（2022·安徽蚌埠·三模（理））设集合，则的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
例30．（2022·全国·高三专题练习），若表示集合中元素的个数，则_______，则_______．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．
【题型六】 新定义
【典例例题】
例32．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( )
A．、中至少有一个关于乘法是封闭的
B．、中至多有一个关于乘法是封闭的
C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．、中每一个关于乘法都是封闭的
【方法技巧与总结】
1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在“翻译”
2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。
例33．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.
例34．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
例35．（2022·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论：
①存在，使得为完美集；
②存在，使得为完美集；
③如果，那么一定不为完美集；
④使得A为完美集的所有的值之和为-2．
其中，所有正确结论的序号是______．
【过关测试】一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江苏盐城·三模）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
6．（2022·河南·模拟预测（文））设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，满足，，全集，则下列说法中可能正确的有（ ）
A．没有最大元素，有一个最小元素B．有一个最大元素，没有最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素D．没有最大元素，也没有最小元素
10．（2022·全国·高三专题练习）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
12．（2022·全国·高三专题练习）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，且，则
B．若A，且，则
C．若A，且，则
D．存在A，，使得
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则______.
15．（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
16．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求图中阴影部分；
(2)若，求实数的取值范围.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围;
(2)当时，若，求实数的取值范围;
20．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合．
(1)若，求．
(2)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
21．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为A，的值域为B，记，其中Z表示整数集．
(1)求集合M；
(2)若，且，求实数a的所有可能值．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求、;
(2)若，求实数的取值范围