2021-2022学年江苏省南通中学高一上学期10月阶段考试数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省南通中学高一上学期10月阶段考试数学试题

一、单选题

1．下列各项中，不可以组成集合的是（    ）

A．所有的正数 B．方程的实数根

C．接近于0的数 D．不等于0的偶数

【答案】C

【分析】利用集合的确定性进行求解即可，中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素

【详解】根据集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；

“接近于0的数”是不确定的元素，故接近于0的数不能组成集合

故答案选：C

【点睛】本题考查集合的含义问题，属于基础题

2．是的条件（    ）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】解出方程的根，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.

【详解】解：由题意得，解得或4，

则是的充分不必要条件.

故选：A.

3．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解绝对值不等式，再根据集合的补运算求解即可.

【详解】因为，则.

故选：D.

4．集合的真子集的个数是（    ）

A．15 B．8 C．7 D．4

【答案】C

【分析】根据题意找到集合A元素，根据元素个数与真子集关系即可得出答案.

【详解】解：因为集合，

所以集合A的真子集个数是.

故选C.

5．设不等式的解集为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式的解集为，得到不等式在

上恒成立，利用恒成立的条件求解之.

【详解】由不等式的解集为，

即为不等式在上恒成立，

当时，不等式为，符合题意，

当时，恒成立，

必有

所以，

所以若不等式的解集为，

则的取值范围为

故选：B.

6．若，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取特殊值，代入比较即可判断A、B、D，根据不等式的性质，即可判断C.

【详解】对于A，当时，由可得 ，故A错误；

对于B，当时，则，故B错误；

对于C，由于，则不等式两边同乘负数，由不等式的性质可得，

故C正确；

对于D，当时，则，此时，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了不等关系的判断及不等式性质的应用，属于基础题.

7．已知不等式对一切实数都成立，则实数 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将不等式变形后进行分析，建立恒成立的条件解之即可

【详解】由不等式对一切实数都成立，

即恒成立，

因为恒成立

所以问题转化为恒成立，

故，

则实数的取值范围是，

故选：D.

8．已知，则的最小值为

A． B．6 C． D．

【答案】B

【分析】结合所给表达式的特点，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.

【详解】∵，∴

∵，

∴，当且仅当时等号成立.

故选B.

【点睛】本题主要考查均值定理的应用，使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证.

二、多选题

9．下列表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据集合与元素的关系，集合与集合的关系判断即可.

【详解】解：对于A，，故A错误；

对于B，空集是任何集合的子集，，故B正确；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，集合与集合关系不能用表示，故D错误.

故选：BC.

10．下列说法中正确的有（    ）

A．不等式恒成立

B．存在实数,使得不等式成立

C．若,,则

D．若,且,则

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”判断ABC的正误,用 “1”的代换判断D的正误.

【详解】解:不等式只有在a,b都为非负数的时候才恒成立,

故A错误;

当时,,

故B正确;

若,

则由基本不等式得,

当且仅当即时,等号成立,

故C正确;

因为,,且,

所以,

所以

当且仅当且时取等号,即时取等号;

故D正确.

故选:BCD.

11．已知关于的不等式解集为，则（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．

D．不等式的解集为

【答案】CD

【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由已知可得，并且是方程的两根，

则由韦达定理可得：，解得，，所以A错误；

选项B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B错误；

选项C：，所以C正确，

选项D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D正确，

故选：CD.

12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（    ）

A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

B．该单位每月最低可获利20000元

C．该单位每月不获利，也不亏损

D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损

【答案】AD

【分析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案.

【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，

当且仅当，即时等号成立，

故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；

设该单位每月获利为S元，

则，

因为，

所以.

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，

故选：AD

【点睛】本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.

三、填空题

13．命题，的否定是__________.

【答案】，

【分析】根据全称量词命题否定格式，写出即可.

【详解】命题，，该命题的否定是：，，

故答案为，

14．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】求得原命题的否定，再结合二次不等式恒成立求解即可.

【详解】∵“，使得”是假命题，

故命题“，”是真命题，

即，解得：.

故答案为：.

15．已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】结合已知条件，利用一元二次方程的根的分布得到不等式组即可求解.

【详解】依题意可设函数，

因为一元二次方程的一根在中，另一根在中，

所以，即，

解得，

所以的取值范围为.

故答案为：.

16．已知，，，则的最小值为__________.

【答案】##

【分析】由，将变形得到，然后利用“1”的妙用，构造出基本不等式，利用基本不等式求出最小值.

【详解】因为，，，

所以

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，

(1)分别求，；

(2)已知，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）分别求解集合，按照集合的交集，补集，并集进行运算即可；

（2）分类或讨论，满足，即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：，，

∴，或

∴或

（2）解：①，则，即时，符合题意.

②，则，解得.

综上，实数的取值范围是.

18．解下列不等式；

(1)；

(2)；

(3)

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）将不等式进行转化为解出即可.

（2）将不等式进行转化为解出即可.

（3）将分式不等式右边化为0的形式，转化为解出即可.

【详解】（1）因为，

所以，

因为无解，

所以，

所以原不等式的解集为；

（2）因为，

所以，

即，

因为，

所以，

所以原不等式的解集为；

（3）因为，

所以，

即，

所以

解得，

所以原不等式的解集为.

19．已知命题：，成立；命题：有两个负根.

(1)若命题为真命题，求的取值范围.

(2)若命题和命题有且只有一个是真命题，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）一元二次不等式有解问题，借助二次函数的性质即可解得；

（2）根据已知条件，判断命题和命题一真一假，分类讨论即可得到.

【详解】（1）若命题为真命题，根据二次函数的性质可得，，

解得，故a的取值范围为；

（2）若命题为真，即一元二次方程有两个负根，设为

则，解得

若命题p和命题有且只有一个是真命题，则为真假或假真

当真假时，

有，解得；

当假真时，

命题假，则或；命题为真，则

因此假真，.

综上，的取值范围为.

20．已知集合，集合.

(1)求集合，；

(2)若是成立的__________条件（请在①充分不必要，②必要不充分，③充分，④必要中任选一个补充在问题（2）中，判断实数是否存在，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

【答案】(1)，；

(2)答案见解析

【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，;

（2）选①，得集合是集合的真子集;选②，得集合是集合的真子集; 选③，得集合是集合的子集;选④，得集合是集合的子集，然后分别列出不等式即可求解

【详解】（1）因为，即，解得，

所以，

因为，即，又因为，所以，

故；

（2）若选①：因为是的充分不必要条件，所以，

则有且等号不同时成立，解得，故存在实数，

所以的取值范围是；

若选②：因为是的必要不充分条件，所以，

则有且等号不同时成立，解得，故存在实数，

所以的取值范围是；

若选③：因为是的充分条件，所以，

则有，解得，故存在实数，

所以的取值范围是；

若选④，因为是的必要条件，所以，

则有，解得，故存在实数，

所以的取值范围是.

21．某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离km的关系为，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为40万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设为建造宿舍与修路费用之和，

(1)求的值.

(2)求关于的表达式.

(3)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值.

【答案】(1)200

(2)

(3)宿舍应建在离工厂km处，总费用最小为36万元.

【分析】（1）根据条件代入，即可求得；

（2）费用之和包括函数P、道路费用两部分，加起来即可；

（3）用基本不等式求第（2）问函数的最值即可.

【详解】（1）由题意，得，

（2）

（3），

当且仅当，且，即时取等号.

所以，宿舍应建在离工厂处，总费用最小为36万元.

22．函数，

(1)若函数有且仅有1个零点，求的值.

(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

(3)若，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

(3).

【分析】（1）分类讨论和，当时，计算判别式；

（2）利用零点存在定理，结合二次函数的性质，即可求解；

（3）分类讨论，和，利用最值分析法，三种情况分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，零点为，符合题意.

当时，，.

综上，或.

（2）若，即，解得，满足题意；

若，解得；

若，，解得，；

若，，解得，.（舍）

综上，的取值范围为.

（3）当时，，在上的最大值为8，不符合题意；

当时，，

∴，，舍去；

当时，

①，即时，，∴；

②，即时，

，，舍去.

③，即时，

∴，，舍去.

综上，的取值范围是.