2021-2022学年江苏省南通市启东市东南中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省南通市启东市东南中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则等于

A．或3 B．0或 C．3 D．

【答案】C

【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得的值.

【详解】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.

故选：C

【点睛】本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，属于基础题.

2．已知，集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合集合中元素的互异性解出，即可求出.

【详解】因为，所以且.

若，则，此时，，与集合中元素的互异性相违背，所以；

若，解得：①，此时，，与集合中元素的互异性相违背，所以；

②，此时，，，符合题意，所以；

所以.

故选：D

3．下列是全称命题且是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q

C．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0

【答案】B

【详解】主要考查全称量词和全称命题的概念．

解：A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．故选B．

4．已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解.

【详解】，即，

又是的必要不充分条件，

所以，

故选：D.

5．若函数的值域是，则函数的值域是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域

【详解】解：令，，则．

当时，单调递减，

当时，单调递增，

又当时，，当时，，当时，，

所以函数的值域为，

故选：B．

6．设，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可.

【详解】当时，不成立，故A错误；

当时，不成立，故B错误；

当时，不成立，故C错误；

，由不等式性质知，故D正确.

故选：D

7．我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据定义域可排除D，根据的函数值正负可排除A，根据的函数值正负可排除D.

【详解】可得的定义域为，故D错误；

，是奇函数，图象关于原点对称，

当时，，则，图象在轴上方，故A错误，

当时，，则，图象在轴下方，故B错误.

故选：C.

8．已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，

又由函数在，单调递增且f(3)，

则，

解可得：，即不等式的解集为；

故选：D．

9．下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据元素与集合、集合与集合之间关系，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A选项，空集中不含任何元素，故A错；

B选项，空集是任一非空集合的真子集，故B正确；

C选项，是数集，是点集，故C错；

D选项，与不一定表示同一点，故D错.

故选：B.

10．已知，下列说法正确的是（    ）

A．在区间单调递增 B．在区间单调递减

C．有最小值 D．没有最大值

【答案】B

【分析】作出图像，观察图像即可得答案.

【详解】作出图像如下实线部分：

由图可知：在区间，上单调递增，在，上单调递减，

故A错误，B正确

没有最小值，有最大值1，故CD错误

故选：B.

二、多选题

11．下列选项中两个函数相等的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的两函数相等，否则不相等．

【详解】解：．的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，两函数相等；

．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；

的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；

．和显然相等．

故选：．

12．下列说法正确的有（    ）

A．不等式的解集是

B．“”是“”成立的充分条件

C．命题，，则

D．“”是“”的必要条件

【答案】ABD

【分析】解分式不等式可知A正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B，D正确；含有全称量词命题得否定，，故C错误.

【详解】由，，，A正确；

时一定有，但时不一定有成立,因此“”是“”成立的充分条件，B正确；

命题，则，C错误；

不能推出，但时一定有成立，所以“”是“”的必要条件，D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

三、填空题

13．已知 或，则__________.

【答案】

【分析】先求得集合A的补集，然后结合数轴利用并集的定义求得两个集合的并集.

【详解】解：.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查集合的补集及并集运算，属基础题.

14．已知，则的解析式为______________．

【答案】

【分析】令，则，代入到题中已知条件即可得到的解析式，亦即的解析式．

【详解】令，则，∴，

故答案为：．

【点睛】求函数解析式常用方法：

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)方程法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．

15．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围____________．

【答案】

【分析】分a=3和两种情况讨论，当a=3时恒成立；当时，为二次不等式在上恒成立问题.

【详解】当a=3时，不等式可化为：恒成立，符合题意；

当时，要使不等式对一切恒成立，

只需，解得：；

所以.

即实数a的取值范围为.

故答案为：.

16．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是___________

【答案】

【分析】先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果.

【详解】因为，

所以，

取等号时，即，

所以，解得，

故答案为：.

四、解答题

17．计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）-5；（2）-1

【分析】（1）由根式与指数的运算法则运算即可得解；

（2）由对数的运算法则运算即可得解.

【详解】解：（1）

；

（2）

【点睛】本题考查分数指数幂的运算以及对数的运算，属于基础题.

18．已知，集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．

（2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可；

【详解】（1）当时，

，

故；

（2）由知

当时，，解得；

当时，，解得．

综上所述，实数的取值范围为

【点睛】易错点睛：本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.

19．已知.

（1）当时，解不等式；

（2）若，解关于x的不等式.

【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）将代入，解对应的二次不等式可得答案；

（2）对值进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．

【详解】解：（1）当时，有不等式，

，

∴不等式的解集为或

（2）∵不等式

又

当时，有，∴不等式的解集为；

当时，有，∴不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．

20．已知函数为奇函数.

(1)求实数的值；

(2)求证：在区间上是增函数.

【答案】(1)0

(2)证明见解析

【分析】（1）利用特殊值，可求得的值，然后验证可得；

（2）利用单调性的定义证明可得；

【详解】（1）解：因为为奇函数，且定义域为，

所以，即，解得，

又当时，，

对，，

有，所以满足题意，即的值为.

（2）证明：设，，且，

则

，

当时，，，

从而，即，

所以在区间上是增函数.

21．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米

(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；

【答案】(1)

(2)，最小面积为48平方米

【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.

（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.

【详解】（1）解：设的长为米（）

是矩形

由，得

，解得或

即的取值范围为

（2）令，（），则

当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米

22．已知定义在上的函数，满足对任意的，，都有.当时，.且（3）.

（1）求的值；

（2）判断并证明函数在上的奇偶性；

（3）在区间，上，求的最值.

【答案】（1）0；（2）奇函数，证明见解析；（3）最大值为12，最小值为.

【解析】（1）令可得答案.

（2）令，得，即可得出奇偶性.

（3）设、，且，则，由时，，即可得出单调性，进而得出最值.

【详解】（1）令，得，.

（2）令，得，

即对于定义域内的任意一个，都有，

是奇函数.

（3）任取实数、，且，这时，，

，

时，，

在，上是减函数.

故的最大值为，最小值为（9）.

而（9）（3），（9）.

在区间，上的最大值为12，最小值为.

【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数求函数值和求奇偶性和讨论单调性和求最值，解答本题的关键是分析出函数的单调性，，主要是变形，属于中档题.