江苏省南通中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省南通中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知集合，则的真子集的个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2. 下列图象中，表示函数关系的有( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为( )
A. B. 1C. 2或D. 2
4. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( )
A. 甲同学和乙同学B. 丙同学和乙同学
C. 乙同学和甲同学D. 丙同学和甲同学
5. 已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A B. C. D.
6. 已知函数由下表给出，若，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知，，且满足，则的最大值为( )
A 9B. 6C. 4D. 1
8. 一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表(表中常用对数为近似值).请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
10. 下列说法中，正确的是( )
A. 集合和表示同一个集合
B. 函数的单调增区间为
C. 若，，则用，表示
D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，
11. 已知，，且，则( )
A. B. C. D.
12. 定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是( )
A. B. 奇函数
C. 为单调减函数D. 为单调增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置.
13. 计算：________.
14. 已知函数，则________.
15. 已知函数，其中，
(1)若函数在单调，则实数的范围是__________；
(2)若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.
16. 已知为正实数，则的最小值为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (1)求的值；
(2)已知，求的值.
18. 已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
19. 已知函数是定义域上的奇函数.
(1)确定的解析式；
(2)用定义证明：在区间上是减函数；
(3)解不等式.
20. 某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆的高(单位：米，下同).
(1)试将用和表示；
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.
21. 已知集合，集合.
(1)若，求取值范围；
(2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.
22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．
(1)写出函数一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值．
1
2
3
4
1
3
1
2
真数
常用对数
真数
常用对数
2
0.30
11
1.04
3
0.48
12
1.08
4
0.60
13
111
5
0.70
14
1.15
6
0.78
15
1.18
7
0.85
16
1.20
8
0.90
17
1.23
9
0.95
18
1.26
10
1.00
19
1.28
2022—2023学年第一学期高一年级期中考试
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知集合，则的真子集的个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.
【详解】，则的真子集为：
故选：C
2. 下列图象中，表示函数关系的有( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数概念逐一判断即可.
【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，
对于A，当时，有两个值与其对应，不符合；
对于B，当时，有两个值与其对应，不符合；
对于C，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；
对于D，当时，有无数个值与其对应，不符合.
故选：C.
3. 已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为( )
A. B. 1C. 2或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.
【详解】∵ 是幂函数，
∴，即，解得，或，
又当 时，单调递减，∴，
当时，，不合题意，舍去；
当，，符合题意，
故．
故选：A．
4. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( )
A. 甲同学和乙同学B. 丙同学和乙同学
C. 乙同学和甲同学D. 丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】
【分析】判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
5. 已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.
【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，
所以，在区间上恒成立，所以，
所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.
故选：B
6. 已知函数由下表给出，若，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.
【详解】由题可得,,则,故.
故选:D.
【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.
7. 已知，，且满足，则的最大值为( )
A. 9B. 6C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1.
故选：D
8. 一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表(表中常用对数为近似值).请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.
【详解】解：由题意得：
，
，
，即，
故此，即，
又因为为整数，故根据上表可知：，
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b、c可用a的代数式表示，检验各选项即可得结果.
【详解】由题意知：
A项： ，即：A项正确；
B项： ，即：B项正确；
C项： ，即：C项正确；
D项：，即：D项错误.
故选：ABC.
10. 下列说法中，正确的是( )
A. 集合和表示同一个集合
B. 函数的单调增区间为
C. 若，，则用，表示
D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据集合的定义即可判断；对于B，利用复合函数的单调性即可判断；对于C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.
【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误；
对于B，根据解得函数的定义域为，
令则，
为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增区间为，所以B选项正确；
对于C，因为，，根据对数的换底公式可得，所以C选项正确；
对于D，因为当时，，可令，则，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，与题干结果不符，所以D选项错误.
故选：BC.
11. 已知，，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.
【详解】对于A，因为，所以，又因为，，
所以，即，所以，
又因为，所以，可知A选项正确；
对于B，因为，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，可知B选项错误；
对于C，因为，解得，当且仅当，即，时等号成立，可知C选项正确；
对于D，因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，可知D选项正确.
故选：ACD.
12. 定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是( )
A. B. 为奇函数
C. 为单调减函数D. 为单调增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由判断其符号即可.
【详解】解：令得，即得，A正确；
在定义域范围内令得，即得是奇函数，B正确；
令，，且，
所以，
又且，，
所以，即，
所以，即
所以在上是单调增函数，D正确，C错误．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置.
13. 计算：________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.
详解】解：.
故答案：3.
14. 已知函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式
【详解】解：令,得,代入得
即的解析式为
故答案为：
15. 已知函数，其中，
(1)若函数在单调，则实数的范围是__________；
(2)若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】(1)利用单调性的定义进行处理.
(2)利用函数图象以及换元法来处理.
【详解】(1)当时，，在单调递增，当时，，其对称轴为，所以在
上单调递增，若函数在单调，则，
解得.
(2)若存在互不相等的三个实数，，，使得，
则的图象如图所示：
则，即，解得或(舍去).
对于函数，令，，所以，
其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数的值域为.
故答案为：，.
16. 已知为正实数，则的最小值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】由题得，
设，则.
当且仅当时取等.
所以的最小值为6.
故答案为：6
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (1)求的值；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】(1)利用指数幂的运算性质化简计算即可；
(2)把平方，结合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．
【详解】(1)；
(2)，，，
，．
18. 已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出实数的取值范围.
详解】若真，对任意实数，不等式都成立.
∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立
当时，，解得
∴真时，；
若真，则方程无实数根，
∴，
∴真时，.
∵命题、中有且仅有一个真命题，
∴当真假时，且，故实数m的取值范围是：；
当假真时，且，故实数m的取值范围是：；
综上，实数取值范围为
19. 已知函数是定义域上的奇函数.
(1)确定的解析式；
(2)用定义证明：在区间上是减函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).
【解析】
【分析】
(1)利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；
(2)任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；
(3)利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】(1)由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，；
(2)任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数在区间上是减函数；
(3)由(2)可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
20. 某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆的高(单位：米，下同).
(1)试将用和表示；
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标后，可知；
(2)根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最值即可得答案.
【小问1详解】
解：由抛物线方程得： ，
∵，均为圆的半径，
，圆的半径为：，
∴，入抛物线方程可得，解得，
∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，
∴，
∴，.
【小问2详解】
解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，
，整理可得：，
，
(当且仅当时取等号)，
，
.
∴的取值范围为：
21. 已知集合，集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；
(2)根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.
【小问1详解】
由，所以.
由，
因为，所以，
当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，
即，显然成立；
当时，即时，，
要想，只需，而，所以；
当时，即时，，
要想，只需，而，所以，
综上所述：的取值范围为；
【小问2详解】
由(1)可知：当时，，此时不符合题意；
由(1)可知：当时，，
要想中有且仅有两个整数，只需，或，
由，显然，所以，
由，
所以；
由(1)可知：时，，
要想中有且仅有两个整数，只需，或，
由，而，即，
由，
所以，
综上所述：的取值范围为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.
22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．
(1)写出函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析 (3)
【解析】
【分析】(1)结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；
(2)若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推出矛盾，即可证明结论；
(3)函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而可求得的最大值．
【小问1详解】
是的一个“优美区间”，证明如下：
在区间上单调递增，
又，，∴的值域为，
∴是的一个“优美区间”．
【小问2详解】
设是函数的定义域的子集．
由，可得或，
∴函数在上单调递减．
若是函数的“优美区间”，则，
两式相减得，，则，
，
则，显然等式不成立，
∴函数不存在“优美区间”．
【小问3详解】
的定义域为，是函数的定义域的子集，
则或，
而函数在上单调递增，
若是函数的“优美区间”，则，
∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．
，∴同号，
只需，解得或，
，，
，
∴当时，取得最大值．
1
2
3
4
1
3
1
2
真数
常用对数
真数
常用对数
2
0.30
11
1.04
3
0.48
12
1.08
4
0.60
13
1.11
5
0.70
14
1.15
6
0.78
15
1.18
7
0.85
16
1.20
8
0.90
17
1.23
9
0.95
18
1.26
10
1.00
19
1.28