2021-2022学年江苏省南通市海门区第一中学高一上学期第一次学情调研数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省南通市海门区第一中学高一上学期第一次学情调研数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合并集定义即可得出答案.

【详解】解：已知集合，，得

故选：

2．函数的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．1

【答案】B

【分析】利用基本不等式求解即可

【详解】，当且仅当时取得最小值

故选：B

3．下列一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】利用不等式的性质即可判断求解.

【详解】因为，因为，故，，即，所以，故A正确；

由，得，不一定为1，故B错误；

若，无意义，故C错误；

若，，故D错误．

故选:A.

4．设全集，集合，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件可得出关于的等式，由此可解得实数的值.

【详解】已知全集，集合，，则，解得.

故选：C.

5．已知不等式的解集为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，、为方程的两根，利用韦达定理求出、的值，即可求得结果.

【详解】由题意可知，、为方程的两根，

由韦达定理可得，解得，因此，.

故选：D.

6．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由不等式的性质可求解

【详解】

，，

故选：C

7．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案.已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为（     ）

A．20 B． C．40 D．

【答案】D

【分析】根据面积得，结合基本不等式与重要不等式求得周长的最小值．

【详解】设两直角边分别为，，则斜边为

所以该直角三角形的面积为，则

周长为

当且仅当时等号成立，故周长的最小值为

故选：D

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

8．已知实数a，b满足，，则的值为（    ）

A．3 B． C． D．4

【答案】B

【分析】根据题意得a，b是方程的两个根.

【详解】实数a，b满足，，

所以a，b是方程的两个根，

根据韦达定理

故选:B.

二、多选题

9．已知集合，且，则实数的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.

【详解】已知集合且，则或，

解得或或.

若，则，合乎题意；

若，则，合乎题意；

若，则，合乎题意.

综上所述，或或.

故选：ABD.

10．下列关系中，正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，，A选项正确；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，而不是，D选项错误.

故选：AB.

11．下列命题为真命题的是（     ）

A．“”是“”的充分不必要条件；

B．命题“，”的否定是“，”；

C．若，则；

D．设、，则“或”的必要不充分条件是“”.

【答案】AB

【分析】本题首先可通过也有可能是负数得出A正确，然后通过全程命题的否定是特称命题判断出B正确，再然后通过判断出C错误，最后通过“”是“或”的充分不必要条件判断出D错误.

【详解】A项：若，则；若，则也有可能是负数，

故“”是“”的充分不必要条件，A正确；

B项：全程命题的否定是特称命题，

则命题“，”的否定是“，”，B正确；

C项：若，，则，C错误；

D项：若，则或；

若，，则，

故“”是“或”的充分不必要条件，D错误，

故选：AB.

12．实数、满足 ，若有解，则实数可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由已知可得出，根据已知条件求出的取值范围，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可得出合适的选项.

【详解】因为实数、满足，则，由可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，

所以，，即，解得或.

故选：AD.

三、填空题

13．函数的零点是__________.

【答案】2

【分析】解方程即可.

【详解】令，则，解得，所以函数的零点是

故答案为：

14．不等式的解集是__________.

【答案】或}

【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可

【详解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.

故答案为：或}

15．若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】先求出特称命题的否定，结合二次函数的图象与性质即可列式求解

【详解】∵“”是假命题，则“”为真命题，，解得，故实数a的取值范围是

故答案为：

四、双空题

16．函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________，不等式的解集是__________.

【答案】         

【分析】根据图像求出a，b，c之间的关系，再解不等式 即可.

【详解】由函数图像知，的解集为；

从而且，解得且，

所以不等式等价于，等价于 ，解得；

故答案为：；

五、解答题

17．设集合，

(1)求；

(2)求

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）求得集合，再求交集即可；

（2）根据集合的补运算以及并运算，求解即可.

【详解】（1）因为集合，，

.

（2）或，或

18．已知a＞0，b＞0且1，

(1)求ab最小值；

(2)求a+b的最小值．

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）由基本不等式直接得出不等关系后可得最小值．

（2）利用已知凑配出定值后，由基本不等式得最小值．

【详解】（1）由已知，解得，当且仅当即时等号成立，

所以最小值是8；

（2）由已知，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最小值是．

19．（1）若函数有且仅有一个零点，求的值；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）讨论不成立，当时令求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数和，解不等式组即可.

【详解】解：（1）当时，无零点；

当时，有且仅有一个零点，则，即：，解得：或（舍），所以.

（2）当，恒成立，所以成立；

当时， ，解得：.

故.

20．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3.

（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）2＜x＜3；（2）2≤a≤.

【解析】（1）分解因式化简命题p，解绝对值不等式化简q，利用p∧q为真命题，求出实数x的取值范围；

（2）利用p是q的充分不必要条件，列出不等式，解出实数a的取值范围．

【详解】p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a（a＞0）.

q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8.

（1）当a＝1时，p：1＜x＜3.p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3.

∴实数x的取值范围是2＜x＜3.

（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，

解得：2≤a≤.

∴实数a的取值范围是2≤a≤.

【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的应用，考查学生计算能力，属于中档题．

21．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．

（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；

（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．

【答案】（1）；（2）设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．

【分析】（1）设广告牌的宽为，则由题意可得，且，从而可求得广告牌的面积y关于x的表达式；

（2）由（1）可得，然后利用基本不等式求解即可

【详解】解：（1）依题意设广告牌的宽为，则，

所以，且，

所以广告牌的面积．

（2）由（1）知，

，

当且仅当，即时等号成立．

所以当时，广告牌的面积最小最小值为．

答：设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．

22．已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.

（1）判断是否正确，说明理由；

（2）证明：；

（3）证明：若，则且.

【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据定义确定包含元素；

（2）根据定义依次确定包含元素；

（3）根据定义确定包含元素，即得结论；根据定义依次确定包含元素,即得结论．

【详解】（1）正确，证明如下：由①知，

由②可得；

（2）证明：由（1）知，又

∴，

由③得；

（3）证明：由①知

由题知，∴由②可得

又∵，∴，即；

证明：由，，

当时，则；

当时，则；

当且时，由②可得，

再由③可得，

∴即，

∴即，

∴即当，

又因为当，，∴，∴

∴当，可得

∴．

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．