2021-2022学年广东省佛山市实验中学高一上学期阶段性考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省佛山市实验中学高一上学期阶段性考试数学试题

一、单选题

1．（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接按照向量的运算法则即可得结果.

【详解】．

故选：B.

2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算，求得，根据复数的几何意义可得答案.

【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第二象限．

故选：B

3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以．

故选：A

4．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据斜二测画法原则可还原，利用勾股定理求得后即可确定周长.

【详解】由直观图可还原如下图所示，

其中，，，

，的周长为.

故选：C.

5．若复数z满足，则（    ）．

A． B． C．13 D．12

【答案】A

【分析】先化简复数z，再计算模

【详解】由题意得，所以

故，

故选：A

6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：由题意得，

由正弦定理可得．

所以，又，所以．

故选：C

7．已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据扇形面积公式得出母线长，由弧长公式得出底面圆的半径，最后由体积公式计算即可.

【详解】设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，由，得．

因为，所以，所以该圆锥的体积为．

故选：A

8．在中，A的角平分线AD交BC于D，若，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理结合为角的角平分线可得，再根据平面向量的线性运算即可得解.

【详解】解：因为A的角平分线AD交BC于D，所以，

所以由正弦定理，，

又因为，

得，则，

所以．

故选：D.

二、多选题

9．已知向量，，则（    ）．

A． B．

C． D．与方向相同的单位向量为

【答案】ABD

【分析】根据向量的概念及坐标运算公式进行计算即可判断答案.

【详解】，，，

，C错误，A，B，D正确．

故选：ABD.

10．在等腰梯形ABCD中，，，，以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（    ）．

A．等腰梯形ABCD的高为1 B．该几何体为圆柱

C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为

【答案】AC

【分析】根据该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥逐项求解判断.

【详解】因为在等腰梯形ABCD中，，，，

所以等腰梯形ABCD的高为1，

该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥，A正确，B错误．

该几何体的表面积，

体积，C正确，D错误．

故选：AC

11．已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A． B． C．A＝2 D．

【答案】ACD

【分析】根据图像得，结合可求，根据对称中心得，解得或，代入检验可得A＝2，，

再求．

【详解】由图可知，得T＝4，得．

由图得，得，

因为，所以或．

当时，，所以A＝2，

当时，由得，不合题意，

则．

故．

故选：ACD．

12．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）．

A． B．B的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】由条件利用正弦定理边化角，可得，判断A;由三角形为锐角三角形结合A的结论，可求得B的范围，判断B;利用正弦定理表示，结合B的范围可判断C; 利用正弦定理表示，结合B的范围可判断D;

【详解】由题意得，

得，

由于 ,则 ,

则，A错误．

因为是锐角三角形，所以 ，

解得，B正确．

由于，故，C正确．

，

由于，，故，故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．已知复数z的实部和虚部均不等于0，且，请写出一个满足以上条件的复数：______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据已知条件，结合复数的模的计算，可得答案.

【详解】因为复数z的实部和虚部均不等于0，且，

故符合条件的一个复数为：，

故答案为：

14．如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______．

【答案】##

【分析】将圆柱侧面展开，则最短路径的长度为线段，根据勾股定理即可得解.

【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，

，

则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为．

故答案为：.

15．如图，某登山者从山脚A处出发，沿着A→C→D的路线到达山顶D处．A，B，C，D四点共面．登山者在A处测得D的仰角为45°，C的仰角为15°，在C处测得D的仰角为60°，若D处的高度BD为1200米，则C处的高度为______米．

【答案】##

【分析】过C作，分别交AB，BD于E，F两点，在中，利用正弦定理得到AC，然后在中求解.

【详解】解：过C作，分别交AB，BD于E，F两点，

则，，

所以，，

所以．

在中，由，

得，

故，

．

故答案为：

四、双空题

16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，______．

【答案】     6    

【分析】利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；

【详解】解：因为，由正弦定理可得，

所以，．

故答案为：；；

五、解答题

17．已知复数．

(1)若z为实数，求m的值；

(2)若z为纯虚数，求m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）虚部为0列出方程即可；（2）实部为0，虚部不为0列出方程即可

【详解】（1）由题意得，解得

（2）由题意得,即,解得

18．已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为，，．

(1)求点D的坐标；

(2)求平行四边形ABCD的面积．

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和平面向量的相等向量的计算即可求解.

（2）判断与的关系，可判断平行四边形ABCD为矩形，即可求解面积.

【详解】（1）设点D的坐标为．

由题意得，．

因为，所以得

所以点D的坐标为．

（2）因为，所以，

所以平行四边形ABCD为矩形．

因为，，

所以平行四边形ABCD的面积为．

19．如图，在中，，，，点D在边BC上，且．

(1)求AD；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求，然后通过正弦定理即可得结果；

（2）通过余弦定理解出三角形，再计算面积即可.

【详解】（1）由题意得．

在中，由正弦定理，得

（2）由余弦定理，

得，解得．

因为，所以，

所以．

故的面积为．

20．已知，为不共线的单位向量，，，且与共线.

(1)求的值；

(2)若，分别求和的坐标.

【答案】(1)

(2)，或，.

【分析】（1）根据共线定理即可求解；（2）根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解.

【详解】（1）设，则，得

解得.

（2）设，因为，所以，

得

解得或

当时，；

当时，.

21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．

(1)求C；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，，根据求解；

（2）利用余弦定理结合基本不等式求解.

【详解】（1）解：因为向量，，且，

所以，

即，

即，

即，

因为，

所以．

（2）由余弦定理得，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以．

又三角形的两边之和大于第三边，所以，

所以周长的取值范围为．

22．①将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度，②将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．从这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．

问题：______，得到函数的图像．

(1)求的单调递增区间；

(2)若，且，的值．

（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由平移变换和伸缩变换得出，再由余弦函数的性质得出单调性；

（2）由利用二倍角公式求得，确定的范围，求得，再由两角和差的正余弦公式求得，，结合同角的三角函数关系以及诱导公式求得答案.

【详解】（1）选择①，将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，

再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图像．

由，，得，，

所以的单调递增区间为，．

选择②，将图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，

再将所得图像向左平移个单位长度，得到的图像．

由，，得，，

所以的单调递增区间为，．

（2）由题意得，得．

因为，所以，所以．

因为，

所以是锐角，所以，

所以，

，

所以．