2022-2023学年浙江省宁波市鄞州中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市鄞州中学高一上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了 已知全集，，则， 命题“，”的否定是， 设，，，则，，的大小关系为， 下列命题正确的是， 已知，若，则， 已知函数，则的图象大致是， 已知幂函数的图象经过点，则， 已知，且，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）
1. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
【点睛】若集合元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】改变量词，否定结论即可.
【详解】命题“，”的否定是 “，”.
故选：B.
3. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将化为，利用指数函数单调性得，，即可得.
【详解】由指数函数的单调性可得，，
，所以.
故选：D
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若则
【答案】B
【解析】
【分析】举特值分析可知ACD不正确，根据不等式的性质可知B正确.
【详解】对于A，当，时，满足，但不满足，故A不正确；
对于B，由可得，故B正确；
对于C，若，若，则，故C不正确；
对于D，当，时，满足，
但是，故D不正确.
故选：B
5. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 不等式的解集为
【答案】B
【解析】
【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
6. 已知，若，则（ ）
A. 5B. C. 2D. 2或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出的值，再代入求解即可.
【详解】解：根据题意，
当时函数在上单调递增，当时函数在上单调递增，
若，
，
则必有，即，
则，
即，则，
解得或（舍去），
，
故选：B.
7. 已知函数，则的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除A，再由时，时排除BC即可.
【详解】∵，定义域为，关于原点对称，
∴，故是偶函数，排除A；
当时，，即，，所以，当时，又有，因此，排除B，C.
故选：D.
8. 函数定义域为，若为偶函数，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为偶函数，则，得到函数的图象关于直线对称．再根据为偶函数，的定义域关于对称解得，然后利用指数函数的单调性求解.
【详解】因为为偶函数，则，
故函数的图象关于直线对称．
又函数的定义域为，
则，解得，
故当时，单调递减，
又，，，
所以，
即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对称性的应用以及指数函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求的，全部选对得5分，选对但不全对得2分，有选错的得0分）
9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数为增函数B. 函数为偶函数
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一计算判断即可.
【详解】对于A：，，即
，则，
当且仅当时，等号成立，A正确；
对于B：，当且仅当，即时等号成立，
又，即，成立，B正确；
对于C：
，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D：，当且仅当时，等号成立，D正确；
故选：ABCD．
11. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上是减函数
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以等价于，
又在上是减函数，且，所以 ，
解得，故D正确,
故选:ABD．
12. 给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A. 函数的定义域为R，值域为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 函数在上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.
【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；
函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；
由图象知函数是偶函数，C正确；
由图象知D不正确．
故选：ABC．
【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解
【详解】因为函数的定义域是，
所以，所以
所以函数的定义域为，
要使有意义，则需要，解得，
所以的定义域是.
故答案为：
14. 已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，令，即可得到在上单调递减，则问题转化为即，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：因为函数定义域为，对任意的，都有，
即，
令，即，又因为，所以函数在上单调递减，
不等式可变为，
又因为，所以，
所以，即，
又因为函数在上单调递减，所以，解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
15. 已知实数满足，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】变形，令，则，消去中的，然后利用方程有解来求解即可.
【详解】∵，
则，
令，则，
，
，
即，的值使方程有解，
，解得
故的最大值为
故答案为：
16. 设函数，若存在最小值，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.
【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；
当时，，
当时，，又时，，
存在最小值，满足题意；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，解得：，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，不等式无解；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
17. （1）求值：
（2）已知非零实数a满足，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数和指数幂的运算性质直接化简即可；
（2）根据化得 ，对式子进行等价变形为，然后代入求值即可.
【详解】（1）解:原式 .
（2），，，即.
原式.
18. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，
（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，
【小问1详解】
由题意得在时恒成立，
∴，得，即.
【小问2详解】
不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件.
③当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时，
综上①②③可得.
19. 两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.
（1）将表示成的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在，该点到城的距离为.
【解析】
【分析】（1）由，得，由题意得，再录
垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，求出，即可得解；
（2）由（1）知，令，换元得，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由为直径，得，
由已知得
又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，
即，，代入上式得，解得
所以表示成的函数为：
（2）
令
则
又，当且仅当，即，等号成立，
所以，当时，等号成立.
所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由：
（2）若为定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）是“局部奇函数”.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用已知，根据“局部奇函数”定义求解即可.
（2）根据已知、“局部奇函数”定义，利用换元法、借助一元二次函数图象与性质进行求解.
【小问1详解】
因为，对于方程，
即，即，
化简得：，解得，
所以方程有解，所以是“局部奇函数”.
【小问2详解】
因为是定义在上的“局部奇函数”，
所以有解，
即，
即，
令，则，
所以关于的方程在上有解，
即在上有解，
令，，
①当时，即，即时，
方程在上有解；
②当时，即时，要使方程在上有解，
则，解得，又，所以无解；
综上，实数的取值范围为.
21. 已知.
（1）用定义证明的单调性，并求在区间上的最大值和最小值；
（2）己知集合，其中且，且对任意，都有，求的值.
【答案】（1）证明见解析，最大值3，最小值
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可利用定义法证明单调性或利用导数证明单调性，再根据函数的单调性求出函数在[2，4]上的最值即可；
（2）结合单调性可得的值域，再结合题意根据集合间的包含关系列不等式求解即可．
【小问1详解】
，
，且，
则，
∵，且，
∴，
∴，
∴函数在上单调递减，
同理可得函数在上单调递减．
∵函数在上单调递减，
．
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，
对任意，都有
且
且，
22. 已知函数,.
（1）若，求的单调区间；
（2）求函数在上的最值；
（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减, 在上单调递增； （2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）分段结合二次函数图形讨论函数的单调性即可；（2）分，，，四段讨论函数的单调性，求出最值；（4）令，分别解出，，（舍），得，然后化简求出取值范围即可.
【详解】（1）
当时，函数的对称轴是，开口向上，
故在上单调递减, 在上单调递增.
当时，函数在上单调递增.
综上： 在上单调递减, 在上单调递增.
（2）①当时，
的对称轴是，
在上递减，在上递增
而
最小值，最大值；
②当时的对称轴是，
，
的最小值为，最大值，
③当时，
的最小值为，最大值，
④ 当时，的对称轴是
的最小值，最大值，
综上：①当时，的最小值，最大值；
②当时，的最小值为，最大值；
③当时，的最小值为，最大值
④当时，的最小值，最大值
（3）
当时,令,可得
，，
因为，所以，（舍去）
所以,
在上是减函数,所以.
【点睛】本题考查了绝对值函数的单调性，值域与零点问题，绝对值函数常转化为分段函数分类讨论求解.