浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(学生版+解析)

这是一份浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(学生版+解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线焦点到准线的距离为
A. 4B. 2C. 1D.
2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为( )
A. B. C. 1D. 2
3. 与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是( )
A B. C. D.
4. 等差数列中，已知，，，则n为( )
A. 58B. 59C. 60D. 61
5. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6. 设，是双曲线E：的两个焦点，双曲线E与以O为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 13D.
7. 已知数列满足：对于任意的m，，都有恒成立，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则( )
A. 9B. 4C. 3D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有( )
A. 有极大值，也有极小值
B. 是的极小值点
C. 是的极大值点
D. 是的极大值点
11. 已知抛物线：的焦点为，直线过焦点分别交抛物线于点、、、，其中位于轴同侧，且经过点，记，的斜率分别为，，则下列正确的有( )
A. B. 过定点C. D. 的最小值为
12. 已知数列满足，，，；则( )
A. 或5B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则________.
14. 已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.
15. 把自然数按如下规律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，……，则第2022个数是________.
16. 对于首项和公比均为q的等比数列满足：对于任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和，是首项为1的等比数列，且.
(1)求数列，通项公式；
(2)设数列满足，求的前12项的和.
18. 已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
19. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程.
20 已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于任意的，，且，都有成立，求a的取值范围.
21. 已知曲线C:上一点,过作曲线C的切线交x轴于点,垂直于x轴且交曲线于﹔再过作曲线C的切线交x轴于….,依次过作曲线C的切线x轴于﹐垂直于x轴,得到一系列的点,其中.
(1)求的坐标和数列的通项公式;
(2)设的面积为,为数列的前n项和,是否存在实数M,使得对于一切恒成立,若存在求出M的最小值,不存在说明理由.
22. 已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点，
(1)求双曲线标准方程；
(2)若双曲线与直线交于，(，)两点，直线又与圆切于点M，且，求直线的方程.
镇海中学2022学年第一学期期中考试
高二年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点到准线的距离为
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可．
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为：．
故选：C.
【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题．
2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为( )
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义求解.
【详解】因为,
所以,
故选:A.
3. 与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线的性质即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以设所求双曲线方程为且，
双曲线的渐近线方程为，所以，即
联立，解得.
所以双曲线方程为.
故选：B.
4. 等差数列中，已知，，，则n为( )
A. 58B. 59C. 60D. 61
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列和与求出公差，写出，再利用，即可求出答案.
【详解】由是等差数列，，得
则
即，
故选：C.
5. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性排除选项B，再代入特殊值排除选项A，利用导数分析单调性可排除C,即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，且，
函数为偶函数，排除选项B；
，排除选项A；
当时，，则，
所以当时，，函数单调递减，排除C.
故选：D.
6. 设，是双曲线E：的两个焦点，双曲线E与以O为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 13D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为，结合双曲线定义得，由，得，继而得解．
【详解】∵，又由双曲线定义可知，
所以，
∵P在以为直径的圆上，则，
由，得，
故，所以.
故选：D．
7. 已知数列满足：对于任意的m，，都有恒成立，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数的运算性质化简，由等比数列的通项公式求解，
【详解】由题意得，即，
则，为首项为2，公比为2的等比数列，
故，
故选：A
8. 已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则( )
A. 9B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设点，可得出，求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合为定值可求得的值，即可得解.
【详解】设点，则直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的方程为，
联立，解得，即点，
由已知可得，则，
所以，为定值，
则，可得.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由为唯一最大值可知，，结合等差数列通项公式可求得的范围，根据等差数列求和公式，结合范围可确定各选项的正误.
【详解】当且仅当时，最大，当时，；当时，，
，解得：，
；
；；
；ABD正确；
，则当时，；当时，；当时，；C错误.
故选：ABD.
10. 如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有( )
A. 有极大值，也有极小值
B. 是的极小值点
C. 是的极大值点
D. 是的极大值点
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合导函数的几何意义，在对应区间上判断与的大小关系，进而利用导数判断函数的单调性，从而判断极大值与极小值，进而结合选项即可得出结论.
【详解】=，
当时，，故，在上单调递减，
当时，，故，在上单调递增，
当时，，故，在上单调递减，
当时，，故，在上单调递增，
故在处取得极小值，在处取得极大值，处取得极小值.
故ABD正确，C错误，
故选：ABD.
11. 已知抛物线：的焦点为，直线过焦点分别交抛物线于点、、、，其中位于轴同侧，且经过点，记，的斜率分别为，，则下列正确的有( )
A. B. 过定点C. D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据直线与抛物线的关系，利用韦达定理求解.
【详解】设的直线方程为，
联立整理得，
由韦达定理得故A正确；
设的直线方程为，
联立整理得，
由韦达定理得
设的直线方程为，
联立整理得，
由韦达定理得
由A选项的结论得，
同A选项推理过程可知，所以，
所以解得，
即的直线方程为，所以过定点，故B正确；
由以上得，所以，
又因为，所以C错误；
由以上知，设的直线方程为，
联立整理得，
由韦达定理得
所以
，因为，
所以当时有最小值为，此时垂直于轴,与AD斜率存在矛盾，
所以D错误.
故选:AB.
12. 已知数列满足，，，；则( )
A. 或5B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先赋特殊值，利用，求,判断A；当时，递推公式变形为，与条件等式结合变形为，，得数列是常数列，变形得，，构造得到数列的通项公式，以及下标为奇数时的通项公式，判断BC；利用并项求和法求，判断D.
【详解】当时，，因为，得或，
当时，，令，，求得，同理，令时，，所以舍去，故A错误；
，当时，，两式相除得，即，，
所以数列是常数列，，
，，
当时，，，
，，即 (为奇数)
当时，，，
，，即(为偶数)，
故B错误，C正确；
利用并项求和法，得



，故D正确.
故选：CD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本初等函数导数公式求导，代入即得解.
【详解】由题意，，故.
故答案为：
14. 已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.
【答案】8
【解析】
【分析】利用双曲线定义即可求得的长度.
【详解】双曲线实轴长
过左焦点交双曲线左支于A、B两点，
则，
又,
则
故答案为：8
15. 把自然数按如下规律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，……，则第2022个数是________.
【答案】63
【解析】
【分析】由等差数列的前项和公式求解，
【详解】设最后一个出现在第个位置，
则，
则，，
第2022个数是63，
故答案为：63
16. 对于首项和公比均为q的等比数列满足：对于任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得对于任意正整数n恒成立，即对于任意正整数n恒成立，构造函数，借助的单调性求的最大值即可，
【详解】等比数列首项和公比均为q,所以，对于任意正整数n都有，则对于任意正整数n恒成立，所以，即，即对于任意正整数n恒成立，
令，则，令，则，
当时，；当时，；
所以在单调递增，在单调递减.
，而，所以，
所以
故答案为：
【点睛】关键点点睛：对于任意正整数n恒成立，关键点是两边同时取对数，即对于任意正整数n恒成立，继而转化为函数求最值问题，构造函数，借助的单调性求的最大值即可，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和，是首项为1的等比数列，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，求的前12项的和.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】(1)利用数列通项与前n项和的关系去求数列的通项公式，解方程求得等比数列的公比q，进而求得数列的通项公式；
(2)利用分组求和法去求数列的前12项和即可解决.
【小问1详解】
数列的前n项和，
当时，，
当时，，
综上得数列的通项公式，即数列为等差数列.
设等比数列的公比为q，
则由，可得，则，
则数列的通项公式．
【小问2详解】
由(1)可得，
则的前12项的和
.
18. 已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)对全分离,将在上恒成立,转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.
(2)由在上单调递增,即在上恒成立,求导后全分离转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.
【小问1详解】
解:由题知在上恒成立,
即,
,
只需即可,
即,
记,
,
,
,
,
在单调递减,
;
【小问2详解】
由题知,在上单调递增,
即在上恒成立,
即恒成立,
,只需恒成立,
即,
记,
,
,,
在单调递增,
,
只需即可,
综上:.
19. 已知抛物线C：焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形.
(1)求抛物线C方程；
(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)由题可得，进而即得；
(2)设，联立抛物线方程，利用韦达定理结合条件即得.
【小问1详解】
因为过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形，
所以，即，
所以抛物线C的方程为；
【小问2详解】
由题可设直线，
由，可得，
则，即，
设，
，
又，，F恰为的重心，
∴，即，
所以，
解得，满足，
所以直线l的方程为，即.
20. 已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于任意的，，且，都有成立，求a的取值范围.
【答案】(1)时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
(2).
【解析】
【分析】(1)求出函数导数，对分类讨论，分析的符号，即可得出函数单调性；
(2)对已知式子变形，转化为恒成立，即函数单调递增，利用导数求解即可.
【小问1详解】
,
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，，解得，
当，当，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，时，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
对于任意的，，且，都有成立，
可得，即恒成立，
令，则
恒成立，所以在上恒成立，
令，则，
所以函数在上单调递增，故，
所以.
21. 已知曲线C:上一点,过作曲线C的切线交x轴于点,垂直于x轴且交曲线于﹔再过作曲线C的切线交x轴于….,依次过作曲线C的切线x轴于﹐垂直于x轴,得到一系列的点,其中.
(1)求的坐标和数列的通项公式;
(2)设的面积为,为数列的前n项和,是否存在实数M,使得对于一切恒成立,若存在求出M的最小值,不存在说明理由.
【答案】(1),;
(2)存在,
【解析】
【分析】(1)根据过切线方程确定坐标,找到规律,设,根据题意找出坐标,进而找到之间的关系,根据递推关系式得到数列的性质,进而得到通项公式;
(2)根据(1)的结论得到的坐标,根据三角形面积公式得到,利用乘公比错位相减得到的通项公式,由于对于一切恒成立,转化为即可.
【小问1详解】
解:由题知,,
,
不妨记,
,
,
,
,
故是以1为首项,为公比的等比数列,
;
【小问2详解】
由(1)知,
,
,
①
②
①-②可得:
,
,
,
对于一切恒成立,
即可,
的最小值为.
【点睛】(1)看到导数数列结合,不要紧张,根据题意递推出关系,找到规律,写出通项即可;
(2)根据题意写出面积公式,发现符合乘公比错位相减,求出,根据数列和恒成立之间结合,求出的范围进而求出结果即可.
22. 已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线与直线交于，(，)两点，直线又与圆切于点M，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】(1)通过渐近线设双曲线方程，将已知点代入求解；
(2)根据题中所给向量关系，以点坐标的两种表示方法为等式，代入直线与双曲线交点坐标求解.
【小问1详解】
∵双曲线的渐近线方程为，即，
∴设双曲线的方程为()
∵双曲线过点，
∴将点代入()，得
，即，
∴双曲线的方程为，其标准方程为.
【小问2详解】
由已知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，
即，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离，∴
且直线与直线垂直，∴，
∴直线的方程为：，
∴由，解得，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，消去，整理得：
，
∴，
∵，
∴，
，
将，代入，得：
，整理、化简、得：
，
∴，
两边同时平方，得：，
∴，即，
解得(舍)或，
∴，
∵且，(，)，
∴或，
∴直线的方程为或，
即或.
【点睛】根据题中向量关系，本题不同于常规问题，难以使用根与系数的关系(韦达定理)对直线与双曲线的交点设而不求，需求出直线与双曲线交点的横坐标，代入进行求解.