2021-2022学年江苏省田家炳中学高二上学期期中考试 数学 解析版

这是一份2021-2022学年江苏省田家炳中学高二上学期期中考试 数学 解析版，共15页。试卷主要包含了 椭圆的焦点坐标为， 已知直线，， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
2021/2022学年度第一学期期中考试高二年级数学试题命题人：    审题人：一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合颜目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1. 若直线l经过两点，则直线l的斜率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据斜率公式求得的斜率.【详解】由于直线经过两点，所以直线的斜率为.故选：D【点睛】本小题主要考查斜率公式，属于基础题.2. 已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】因为是公差为d的等差数列，且，所以，解得，故选：C3. 椭圆的焦点坐标为（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求．【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点故选：A.4. 已知直线，.当时，的值为（    ）A. 1 B.  C. 或1 D. 【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行的充要条件即得.【详解】由直线，，∴，得.故选：B.5. 直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析】由中点坐标求出直线交轴和于两点坐标，从而得到直线方程【详解】直线分别交轴和于两点，设点、，因为是线段的中点，由中点坐标公式得解得，所以点、，则直线的方程为，化简得故选【点睛】这是一道考查直线性质的题目，解题的关键是求出直线的截距，然后求出直线方程．6. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程.【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知，由于是等边三角形，则，所以，，由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为.故选：D.7. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】画家曲线得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以.当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时.由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解.【详解】设，则，因为，可得，整理得，即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足，即，解得，即实数a的取值范围是.故选：A.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】AC【解析】【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况可求.【详解】若直线过原点，则，解得；若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，可得，综上，的值可能是1或2.故选：AC.10. 已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（     ）A. 准线l的方程为 B. 矩形MQPF为正方形C. 点M的坐标为 D. 点M到原点O的距离为【答案】ABD【解析】【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论.【详解】由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确；由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确．故选：ABD．11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ）A. B. 离心率C. 面积最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.故选：AD12. 下列结论正确的是（    ）A. 过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5;B. 已知直线kx-y-k-1＝0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为;C. 已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，直线m的方程是ax＋by＝r2，则m与圆相交;D. 若圆上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是(4，6).【答案】CD【解析】【分析】A选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；B选项中直线kx-y-k-1＝0恒过点，计算即可求解；C选项中利用圆心到直线距离及点P在圆外即可判断；D选项根据以N为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解.【详解】A中直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故错误；B中直线kx-y-k-1＝0可化为，所以直线恒过定点，，直线与线段相交，所以或，故错误；C中圆心到直线的距离，而点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故正确.D中与点N（1，0）的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故D正确.故选：CD【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，斜率公式，直线过定点，考查计算能力，属于中档题．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13. 椭圆的离心率是_________．【答案】【解析】【分析】利用标准方程，求出a，b，然后求解c，即可求解离心率．【详解】椭圆的长半轴为a＝3，短半轴为b＝2，则半焦距为c．所以椭圆的离心率为：e．故答案为．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．14. 已知在数列中，，，，则________．【答案】##0.5【解析】【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意，，，，所以数列是周期数列，周期为3，所以．故答案为：．15. 抛物线的焦点坐标是______；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则______．【答案】    ①. ；    ②. 9.【解析】【分析】由抛物线的解析式可知，即可得出焦点坐标为；过、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.【详解】解：由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，如图，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，由梯形的中位线可知，则，所以.故答案为：；9.16. 已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为________【答案】【解析】【分析】由和双曲线定义可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解.【详解】由题意，由双曲线定义可知，又又又故双曲线的实轴长为故答案为：.四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17题10分，18~22均为12分）17. 已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．（1）求数列{}的通项公式；（2）求Sn．【答案】（1）an＝8﹣2n；    （2）.【解析】【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由等差数列前n项和公式求Sn.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，由a1＝6，a3+a5＝0，则6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，所以{an}的通项公式为an＝8﹣2n．小问2详解】由题意知：，18. （1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为20，半焦距长为6，求椭圆的标准方程．（2）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，求圆的标准方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，由长轴长和半焦距长，可得的值，可得答案；（2）根据圆上的两个不同的点，作其弦的中垂线，由题意，联立直线，求圆心，再求半径，可得答案.【详解】（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，所以短半轴，所以椭圆方程为.（2）由题意设圆心坐标为，再由圆与轴的交点分别为，，可得，则圆心坐标为，半径．该圆的标准方程是.19. 在中，，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由直线的斜率可得直线的斜率，进而可得直线的方程，联立直线和直线的方程即可得点坐标；（2）设可得，根据点在直线上，点在直线上，联立方程组可得和的值，即得点的坐标，结合点的坐标即可得直线的方程.【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为可得，所以，因为，所的方程为：，即，由可得，所以点坐标为；（2）设，则的中点，所以，解得：，所以，所以，所以直线的方程为：，即.20. 已知圆.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.【解析】【分析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案.【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离①当直线的斜率不存在时，，显然满足；②当直线的斜率存在时，设，即，由圆心到直线的距离得：，解得，故；综上所述，直线的方程为或（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，即，则圆心到直线的距离为，又的面积当时，取最大值2，由，得或，直线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.21. 已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程；（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）本题可将代入抛物线方程中求出的值，即可得出结果；（2）本题首先可设、以及直线的方程，然后通过联立直线的方程与抛物线方程即可得出、，最后通过并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，，抛物线方程为.（2）设，，直线的方程为，联立，整理得，，，，则，故为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出、的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.22. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，恒过定点．【解析】【分析】（1）利用椭圆过点，以及离心率为．求出，，即可得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，，，利用韦达定理以及，得到与的关系，然后求解直线，恒过定点．【详解】解：（1）椭圆过点，可得，且离心率为．，解得，所求椭圆方程为：（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，，则，当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，，，有则将式代入化简可得：，即，直线，恒过定点.【点睛】方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.