江苏省南京市田家炳高级中学2022届高三数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

南京田家炳高级中学2021-2022学年第一学期

高三期中考试（数学）

一、单选题

1. 已知集合，集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设复数满足，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

3. “”是“，”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和.则最小的一份为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（    ）

A. －18 B. －12 C. －8 D. －6

6. 已知，且，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知向量，向量，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数有且只有一个零点，则实数的值为（    ）

A. 4 B. 2 C. －2 D. －4

二、多选题

9. 已知实数，满足，则下列关系式恒成立的有（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数满足对任意的，恒成立，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数，经过步变换，第一次到达1，就称为步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得.则下列命题正确的有（    ）

A. 若，则只能是4；

B. 当时，；

C. 随着的增大，也增大；

D. 若，则的取值集合.

12. 已知函数，下列叙述正确的有（    ）

A. 函数的周期为

B. 函数是偶函数

C. 函数在区间上单调递减

D. ，

三、填空题

13. 已知等比数列的前项和为，且，则_________.

14. 已知函数满足，则_________.

15. 已知是腰长为1的等腰直角三角形，角为直角，点为平面上的一点，则的最小值为_________.

16. 函数的零点个数为_________；当时，恒成立，则实数的取值范围为_________.

四、解答题

17. 在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.

①在上有且仅有4个零点；

②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.

设函数，且满足_________.

（1）求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图像，求在上的单调递减区间.

18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.

（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式；

（2）利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心.

19. 在锐角三角形中，已知.

（1）求角的值；

（2）若，求的取值范围.

20. 在中，已知，，，为的中点，为边上的一个动点，与交于点，设.

（1）若，求的值；

（2）求的最小值.

21. 已知正项数列的前项积为，且满足.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，求的最小值.

22. 已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数的最小值为，求实数的值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：∵集合，集合，

∴.故选A.

2.【答案】B 

【解析】解：设，，∵，∴，

∴，解得，，∴.故选B.

3.【答案】A 

【解析】解：若对，，则，解得，

因为，所以“”是“，”充分不必要条件，

故选：A.

4.【答案】A 

【解析】解：设每个人由少到多的顺序得到面包分别为，，，，，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为，则有，①，

又最大的三份之和的是较小的两份之和，，即，②，联立①②，解得.故选A.

5.【答案】D 

【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，

所以，，当时，，所以，

又函数是奇函数，所以.故选：D.

6.【答案】C 

【解析】解：因为，可得，可得，解得或－1，又，所以，可得，所以.

故选C.

7.【答案】B 

【解析】解：，所以，解得，

所以，所以，又，所以.故选B.

8.【答案】C 

【解析】解：设，，

所以，即，

所以关于直线对称，又当时，，而是的一条对称轴，

所以是的一条对称轴，故的对称轴为，若有且只有一个零点，

则，所以有，即，所以，

故选：C.

9.【答案】AC 

【解析】解：∵实数，满足，

∴，

对于选项A：函数在上单调递增，所以，故A恒成立，

对于选项B：取，，则，故B不是恒成立，

对于选项C：∵，∴恒成立，∴恒成立，故C恒成立，

对于选项D：取，，则，故D不是恒成立，

故选：AC.

10.【答案】ABC 

【解析】解：函数满足对任意的，恒成立，

当时，恒成立，即恒成立，

令，，

则，

当且仅当，即时取等号，所以；

当时，，有恒成立，故；

当时，恒成立，即恒成立，

令，，

则，令，解得，当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，

所以.综上所述，实数的取值范围为.

故选：ABC.

11.【答案】ABD 

【解析】：对于A，若，可逆向思考：，所以只能是4，A正确；

对于B，因为，所以，B正确；

对于C，因为当时，，而当时，，所以不是随着的增大，也增大，C错误；

对于D，若，由已知，可以有，此外同A中思考方法，还有：

，这时；

，这时；

，这时.

从上述法则可知：最后四步相同，第2步的数有两种情况，若为5，则 ，

若为32，则第1步均为64，则只能是21或128.

故当时，的取值集合为，D正确.

故选：ABD.

12.【答案】BC 

【解析】解：易知，，所以，即A错误；

因为函数定义域为，且，即B正确;

当时，，则，

所以在该区间上单调递减，即C正确;由A所举例可知，D错误.

故选BC.

13.【答案】2 

【解析】解：等比数列中，，则，

两式相减得，即该等比数列公比，

又等比数列中，，所以.

故答案为：2.

14.【答案】 

【解析】

解：∵，∴，∴，

解得.故答案为.

15.【答案】

【解析】

解：以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，

设，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.故答案为：.

16.【答案】2  

【解析】解：函数，令，

因为，所以方程有两个不相等的实数根，则的零点个数为2；

当时，恒成立，

则，即，解得，

又函数的对称轴为，所以，

即，解得，

综上所述，实数的取值范围为.

故答案为2；.

17.【答案】解：选①，因为，

当时，，令，

所以，，因为函数在上有且仅有4个零点，

所以在有且仅有4个零点，所以，

所以，即，因为，所以；

选②，当时，，

令，所以，，

若在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，

则，在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，

所以，所以，即，因为，所以；

（2）由（1）知，，

所以，

令，，所以，，

因为，所以时，，时，，

所以在上的单调递减区间为，.

18.【答案】解：（1），因为是奇函数，

所以图象关于点对称.（答案不唯一）

（2）根据题意，设，

则

，

又由为奇函数，则，即，

解得，即函数图象的对称中心坐标为.

19.【答案】解：（1）在锐角三角形中，已知，

整理得：，

化简得：，，由于，所以；

（2）由于，所以，

所以，，

故

，在锐角三角形中，，

所以，故；即的取值范围为：. 

20.【答案】解：（1）当时，，

因为是中点，所以，

设，，所以，

所以，即，

因为，，共线，所以，解得，

即；

（2）由题知，

当时，，则，

当时，，

设，则，所以，

因为，，共线，所以，解得，

所以，，

所以，

因为，，，

所以，

设，则，

当且仅当，即时，上述等号成立，所以，综上可得的最小值为－4.

21.【答案】解：（1）证明：当时，，所以，即，

所以，即，而，

所以，所以，

因此数列为等比数列且首项为，公比为；

（2）由（1）可知，，所以，

所以，而，，

记的前项和为，因此，所以，，

所以，的最小值为11.

22.【答案】解：（1）当时，，其定义域为，

则，

根据函数导数的几何意义即得函数在点处的切线斜率为，

又因为，

所以可得切线的点斜式方程即为，

化简即得切线方程为：；

（2）根据题意，的定义域为，

，令，

所以，所以在上单调递增.

当时，，，当时，，，当时，，所以总存在一个，使得，且当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，

令，则，所以在上单调递减，

又，所以时，，即.