安徽省蚌埠田家炳中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学【试卷+答案】

蚌埠田家炳中学2021-2022学年第一学期期中考试     

                    高二数学

         考试时间：120分钟    试卷分值：150分

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知，则AB的垂直平分线方程为

A.  B.  C.  D.

2. 与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为

A.  B.  C.  D.

3. 倾斜角为，在y轴上的截距为2的直线方程是

A.  B.  C.  D.

4. 以为圆心，4为半径的圆的方程为

A.  B.
C.  D.

5. 已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是

A.  B.  C.  D.

6. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

7. 已知直线：与直线：的交点为P，则点P到直线l：的距离为

A.  B.  C.  D.

8. 若直线：与直线：的距离为，则

A. 7 B.  C. 14 D. 17

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角可能为

A.  B.  C.  D.

10. 下列说法正确的是

A. 直线必过定点
B. 过，两点的直线方程为
C. 直线的倾斜角为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

11. 已知圆C：，则

A. 点在圆C的内部 B. 圆C的直径为2
C. 点在圆C的外部 D. 直线与圆C相离

12. 在长方体中，，，P、Q、R分别是AB、、上的动点，下列结论正确的是

A. 对于任意给定的点P，存在点Q使得
B. 对于任意给定的点Q，存在点R使得
C. 当时，
D. 当时，平面

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 空间向量，，如果，则__________.
14. 椭圆的焦距为2，则__________.
15. 已知抛物线的焦点F和点，点P为抛物线上一点，则的最小值为__________.
16. 已知直线且l的方向向量为，平面的法向量为，则__________

四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其它题每题12分，共70.0分）

17. 若直线l的方程为
    若直线l与直线m：垂直，求a的值．
    若直线l在两轴上的截距相等，求该直线的方程．
18. 已知圆C过原点O和点，圆心在直线上．

求圆C的方程；

直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

19. 已知椭圆的两个焦点分别是，，且

求此椭圆的标准方程；

若点P在这个椭圆上，且，求的余弦值．

20. 已知双曲线C：的离心率为，虚轴长为
    求双曲线的标准方程；
    过点，倾斜角为的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
21. 如图在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E是AB上一点，，，，
     

求二面角的大小；

求点B到平面PEC的距离．

22. 已知经过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C相交于两点，直线分别交直线于点
    
    求证：为定值；

求的最小值．

11月4日数学题库练习

答案和解析

【答案】

1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C
8. B 9. AD 10. AD 11. AD 12. ABD 

13. 3  

14. 5或3  

15. 9  

16.   

17. 解：直线l与直线m：垂直，
，解得
当时，直线l化为：不满足题意．
当时，可得直线l与坐标轴的交点，
直线l在两轴上的截距相等，，解得：
该直线的方程为：，  

18. 解：由题意，圆心在直线上，设圆C的圆心坐标为

可得，解得

从而圆C的半径为，

所以圆C的方程为

依题意，圆C的圆心到直线l的距离为2，

显然直线符合题意．

当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，

因为直线l被圆C截得的弦长为2，即，可得，

即圆心到直线的距离为2，则，解得，

所以直线l的方程为，

综上可得，直线l的方程为或  

19. 解：依题意：，焦点在y轴上，

又，且，

，，，

椭圆的标准方程为；

在椭圆上，

，

，

，

又，

由余弦定理得：

，

的余弦值为 

20. 解：依题意可得，，
解得， 

双曲线的标准方程为；

直线l的方程为，

设、，

由，可得，
可知：，

由韦达定理得，，

即
，

点到直线的距离为， 

的面积为

21. 解：以D为原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

，，，
，

设平面PEC的一个法向量为，

由，，

得，令，则

所以，

取平面PCD的一个法向量为，

设二面角的大小为，由图可知为锐角.

，，

即二面角的大小为

由知平面PEC的一个法向量为，

又，，

点B到平面PEC的距离

22. 解：易知，设，
则得，
，，，

设，
所以，
所以AO的方程是：，
由，，
同理由，，
，
且由知，
，

，
当且仅当时，取最小值  

可求出．