2022届江苏省南京市田家炳高级中学高三上学期期中数学试题含解析

2022届江苏省南京市田家炳高级中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则A∩B等于（    ）

A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1<x<2} D．{x|x≥2}

【答案】A

【分析】先根据函数的定义域，求出和，进而求出.

【详解】由得：，故，由得：，故，故.

故选：A

2．设复数z满足，则z等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先设复数，再根据求解即可.

【详解】设复数，因为，

所以，解得，.

所以.

故选：B

3．“”是“，”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先根据二次不等式恒成立得到，从而得到，即可得到答案.

【详解】，，则，解得.

因为，

所以“”是“，”成立的充分不必要条件.

故选：A

4．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.

【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，

依题意可得，，

，

，解得，

.

故选:A.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（    ）

A．-18 B．-12 C．-8 D．-6

【答案】D

【分析】首先根据题意得到，再根据的奇偶性求解即可.

【详解】由题知：，所以当时，，

又因为函数是奇函数，所以.

故选：D

6．已知，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据已知条件得到，再利用同角三角函数关系求解即可.

【详解】，，

整理得：，

解得或.

因为，所以，，.

故选：C

7．已知向量=（1，3），向量=（3，t），=2，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求出t，再利用向量的坐标运算求解向量夹角的余弦.

【详解】，

，解得，

则，

故选：B.

8．已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（    ）

A．4 B．2 C．-2 D．-4

【答案】C

【分析】先证明的图象关于直线对称，结合条件列方程求实数A的值.

【详解】∵

∴  ，

又，

则，

∴  函数为偶函数，

故函数的图象关于对称，

∴ 函数的图象关于对称，

∴函数的图象关于对称，

又函数有且只有一个零点，

∴函数的零点为2，

∴  ，即，

∴  ,

∴  .

故选：C.

二、多选题

9．已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先根据题干条件，得出，再进行判断，BD选项可以通过举出反例进行证明，AC选项可以通过函数的单调性进行证明.

【详解】因为，所以是单调递减函数，因为，所以，而是定义在R上单调递增函数，故，A正确；当，时，满足，此时，故B错误；因为，所以，所以，C正确；当，时，，，所以，D错误.

故选：AC

10．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】当得到恒成立，即可得到，当时，恒成立，当得到恒成立，即可得到，从而得到，再结合选项求解即可.

【详解】因为函数，满足对任意的，恒成立，

当时，恒成立，即恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以.

当时，恒成立.

当时，恒成立，即恒成立，

设，，

，，为减函数，，，为增函数，

所以，所以，

综上所述：.

故选：ABC

11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取m=3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7.则下列命题正确的有（    ）

A．若n=2，则m只能是4； B．当m=17时，n=12；

C．随着m的增大，n也增大； D．若n=7，则m的取值集合为{3，20,21,128}.

【答案】ABD

【分析】根据“冰雹猜想”逐一验证各选项的对错.

【详解】若，则数经过第一,步变换的结果必须为2，所以，A正确，

当时，变换过程为，

所以，B正确，

当时，变换过程为，此时，

当时，变换过程为，此时，C错误，

由已知可得当时，第7次变换为，第6次变换为，第五次变换为，第四次变换为，第三次变换为或，由此可得下列情况；

由可得，

由可得

由可得，

由可得，D正确，

故选：ABD.

12．已知函数，下列叙述正确的有（    ）

A．的周期为2π； B．是偶函数；

C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R，

【答案】BC

【分析】AB选项，可以分别研究与的奇偶性和周期性，从而判断的周期性和奇偶性；C选项，在区间上，化简整理得到，，进而得到在区间的单调性；D选项可以取特殊值代入，证明其不成立.

【详解】是偶函数，不是周期函数，是偶函数，是周期函数，最小正周期为，故不是周期函数，A错误，B正确；当时，，因为，在次区间上单调递减，故在区间上单调递减，C正确；

当时，，，，即，D选项错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知等比数列的前n项和为Sn，且，则___________.

【答案】

【分析】令，，结合等比数列的性质，求出或，两种情况下，求出相应的公比，排除不当答案.

【详解】设等比数列的公比为（），当时，，即，当时，，即，两式结合，，解得：或，当时，（舍去），当时，，符合题意，综上：

故答案为：2

14．已知函数满足，则___________.

【答案】##

【分析】对求导，再代入，进行求解.

【详解】，，即，解得：

故答案为：

15．已知是腰长为1的等腰直角三角形，角为直角，点为平面上的一点，则的最小值为_________.

【答案】##

【分析】以以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，即可求最值，注意取值条件.

【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，

设，则，，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．函数的零点个数为___________，当时，恒成立，则实数a的取值范围为___________.

【答案】         

【分析】根据二次函数的零点的定义判断其零点个数，由可得，

根据其在上恒成立，化简求实数a的取值范围.

【详解】方程的判别式为，所以方程有两个解，

所以函数的零点个数为2，

不等式可化为，所以，

当时，不等式显然成立，

当，不等式组可化为，

由已知当时，恒成立，

所以且，其中，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，

函数在上增函数，所以，

∴  

∴  实数a的取值范围为，

故答案为：2，.

五、解答题

17．在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.

设函数，且满足___________.

(1)求ω的值；

(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在（0，2π）上的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）选①，根据题意得到，从而得到，即可得到；选②，根据题意得到，从而得到，即可得到；

（2）根据题意得到，再求解单调区间即可.

【详解】（1）选①

因为，所以，

若函数在上有且仅有4个零点，则，

即，又，所以；

选②

因为，所以，

若函数在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，

则，即，

又，所以.

（2）因为，将函数的图象向右平移个单位得到

函数，

单调递减区间为，，

即，，

因为，所以单调递减区间有，.

18．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.

(1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式；

(2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心.

【答案】(1)（注：答案不唯一，只要满足为奇函数）

(2)

【分析】(1)由推广结论可得为奇函数，由此写出符合要求的函数解析式；(2) 设为图象的对称中心，为奇函数，设，利用为奇函数，则，即可得出结果.

【详解】（1）因为函数的图象关于点成中心对称，

所以为奇函数，只要设，

则.

（注：答案不唯一，只要满足为奇函数）

（2）设函数图象的对称中心为，

则

，

因为为奇函数，所以，

即

，

所以得，

解得，.

19．在锐角三角形ABC中，已知.

(1)求角A的值；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件切化弦，借助二倍角的正弦、余弦化简变形求出的值即可得解.

(2)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可计算作答.

【详解】（1）因，即，则，

锐角中，，即，则，化简得，即，

所以角A的值.

（2）由(1)及正弦定理得：，得，而,

则有

，

锐角中，，，于是得，，

故有，，即，

所以的取值范围是：.

20．在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.

(1)若，求的值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据向量的线性运算得到和，从而得到，，即可得到.

（2）首先根据题意得到，根据，，得到，从而得到，再求解最小值即可.

【详解】（1）因为C，O，E三点共线，所以有，

即，得，

同理可设，

所以得，，解得.

所以，即.

（2）解：

，

由（1）可知，，所以，

所以，

令，则，

等号当且仅当，即时，的最小值为.

21．已知正项数列的前项积为，且满足.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若，求n的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用前n项积对题干中的条件变形消去，得到，再利用构造法得到，得到数列为等比数列；（2）结合第一问的结论，得到的通项公式，然后进行放缩，求出，再结合，得到，综上，求出n的最小值.

【详解】（1）因为，

所以，

即，

同理得所以，

因为，所以，所以得，

则，因为当时，，得，

所以不恒等于0，

所以，即是首项为，公比为的等比数列，

则，即.

（2）由（1）可得，

所以，

所以，

所以当时，，

当时，，

所以的最小值为.

【点睛】数列与不等式相结合的题目，要充分使用数列的通项公式，要进行适当的放缩，而放缩的方法通常可以利用分离常数法，放缩为等比数列，或放缩为裂项相消法等，朝着我们熟悉的方向或者求和好处理的思路来进行.

22．1.已知函数（m≥0）.

(1)当m=0时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)若函数的最小值为，求实数m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率，进而求出切线方程；（2）对导函数再次求导，判断其单调性，结合隐零点求出其最小值，列出方程，求出实数m的值.

【详解】（1）当时，因为，所以切线的斜率为，

所以切线方程为，即.

（2）因为，令，

因为，所以在上单调递增，

当实数时，，；

当实数时，，；

当实数时，，

所以总存在一个，使得，

且当时，；当时，，

所以，

令，因为，所以单调递减，

又，所以时，

所以，即.