2022-2023学年江苏省南京市田家炳高级中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市田家炳高级中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可

【详解】因为直线经过，两点，

所以直线的斜率为．

设直线的倾斜角为，则，

又，

所以，

所以直线的倾斜角为．

故选：C

2．设复数，则（    ）

A． B．的实部为1

C．的虚部为2 D．的共轭复数为

【答案】C

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，然后逐一核对四个选项得到答案.

【详解】因为

的实部是，虚部是2

所以，

故选： .

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.

3．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.

【详解】由解得，则直线的交点，

又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.

故选：C.

4．甲、乙两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7．若两人同时射击一目标，则都不中靶的概率是（    ）

A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.06

【答案】D

【分析】根据概率乘法公式，可得答案.

【详解】解析：所求概率为．

故选：D.

5．若m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．若m//，m∥，则∥ B．若m⊥，⊥，则m//

C．若m，m⊥，则⊥ D．若m，⊥，则m⊥

【答案】C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可.

【详解】解：对于A，若m//，m∥，则与可能相交，故A错误；

对于B，若m⊥，⊥，则m//或m，故B错误；

对于C，根据面面垂直的判定定理可得，若m，m⊥，则⊥，故C正确；

对于D，若m，⊥，则m可能与平行或相交，故D错误.

故选:C.

6．设，，．若，则实数的值等于

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．

【解析】平面向量数量积．

7．已知点分别在圆与圆上，则的最大值为（    ）

A． B．17 C． D．15

【答案】C

【分析】由题可得的最大值为圆心距加上半径之和.

【详解】依题意，圆，圆心，半径；

圆，圆心，半径，

故.

故选：C.

8．若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，设，则，利用余弦定理、三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.

【详解】设，则，设，则，

由余弦定理可得，

所以，

，

当且仅当时，的面积取最大值.

故选：A.

二、多选题

9．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．

【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；

当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，

∵点到直线的距离相等，

，解得，或，

当时，直线的方程为，整理得，

当时，直线的方程为，整理得

综上，直线的方程可能为或

故选：BC．

10．已知圆的方程为，则（    ）

A．圆关于直线对称

B．过点有且仅有一条直线与圆相切

C．圆的面积为

D．直线被圆所截得的弦长为

【答案】ACD

【分析】对A：由圆心在直线上即可判断；对B：由点在圆外即可判断；对C：由圆的面积公式即可判断；对D：由弦长公式即可求解.

【详解】解：圆的方程为，即，圆心，半径，

对A：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故选项A正确；

对B：因为，所以点在圆外，所以过点有且仅有2条直线与圆相切，故选项B错误；

对C：因为圆的半径为2，所以圆的面积为，故选项C正确；

对D：因为圆心到直线的距离，

所以直线被圆所截得的弦长为，故选项D正确.

故选：ACD.

11．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（    ）

A．平面EFG∥平面PBC

B．平面EFG⊥平面ABC

C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

【答案】ABC

【分析】分别用面面平行、面面垂直、线线角、二面角等知识对每个选项判断即可.

【详解】对于选项A：∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC.故A正确；

对于选项B：∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，又平面，∴平面EFG⊥平面ABC. 故B正确；

对于选项C：由选项A知平面EFG∥平面PBC，且平面与两平面的交线分别为与，所以EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角.故C正确；

对于选项D：∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．故D错误.

故选：ABC.

12．已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（    ）

A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1

C．四边形AMBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点

【答案】BD

【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.

【详解】由圆M：，可知圆心，半径，

∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；

由圆的性质可得切线长，

∴当最小时，有最小值，又，

∴，故B正确；

∵四边形AMBP面积为，

∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；

设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，

所以，即，

又圆M：，即，

∴直线AB的方程为：，即，

由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．在中，角的对边分别为，已知，则_________．

【答案】

【分析】根据内角和求出，正由正弦定理求解即可.

【详解】解：在中，，

由正弦定理,得．

故答案为：.

14．过点的直线，与圆心在原点、半径为3的圆相切，则该直线方程为______．

【答案】或

【分析】当直线斜率不存在时符合题意；当直线斜率存在时，设出方程，由圆心到直线距离等于半径求解即可.

【详解】当直线斜率不存在时，易得直线方程为，此时圆心到直线的距离为3，直线和圆相切，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离为3，可得，

解得，即，整理得，故直线的方程为：或.

故答案为：或.

15．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.

【详解】由，得，

所以圆的圆心为，半径为，

因为圆，所以圆的圆心为，半径为，

因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，

即，解得，

所以的值为.

故答案为：.

16．若圆上恰有三点到直线的距离为，则的值为_______.

【答案】

【分析】作出图形，分析出圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.

【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，如下图所示：

由于圆上恰有三点到直线的距离为，

则圆心到直线的距离为，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题

17．设直线l的方程为（a∈R）.

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若l不经过第三象限，求a的取值范围.

【答案】(1)0或3

(2)

【分析】（1）通过讨论是否为0，求出a的值即可；

（2）根据一次函数的性质判断a的范围即可.

【详解】（1）当直线l过原点时，该直线l在x轴和y轴上的截距为零，

∴a＝3，方程即为4x+y＝0；

若a≠3，则，即a+1＝1，

∴a＝0，方程即为，

∴a的值为0或3.

（2）若l不经过第三象限，

直线l的方程化为，

则，解得，

∴a的取值范围是.

18．已知三点在圆C上，直线，

(1)求圆C的方程;

(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．

【答案】(1)

(2)直线与圆C相交，弦长为

【分析】（1）圆C的方程为:，再代入求解即可；

（2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可

【详解】（1）设圆C的方程为:，

由题意得:，  

消去F得: ，解得: ，

∴ F=-4，  

∴圆C的方程为:.

（2）由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径;

点到直线的距离，故直线与圆C相交，

故直线被圆C截得的弦长为

19．已知圆与圆相交于A，B两点.

（1）求直线的方程；

（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；

（3）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程.

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦所在的直线方程；

（2）求出中点坐标及的长度，则以为直径的圆的方程即为所求；

（3）求出两圆的交点坐标，设出圆心坐标，由半径相等求得圆心坐标，则圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程可求．

【详解】（1）由．

圆与圆的公共弦所在的直线方程为；

（2）以为直径的圆即为面积最小的圆

由，，

则中点为，

．

经过、两点且面积最小的圆的方程为．

（3）由（1）得，代入中得，，

或，即，，

又圆心在直线上，

设圆心为，则，，

即，解得．

圆心，半径．

圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程为．

【点睛】本题考查了两圆公共弦方程的求解，考查了圆的几何性质、圆的方程的求法，训练了圆系方程的用法，是中档题．

20．中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.

(1)求内角B的大小；

(2)已知 的面积为，，请判定的形状，并说明理由.

【答案】(1)

(2)为直角三角形，理由见解析

【分析】（1）根据正弦定理边角转化既可求解;（2）根据三角形面积公式以及余弦定理求出三边长度，即可根据勾股定理证明为直角三角形.

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

又由，

可得，

因为，可得，所以，即，

又因为，可得.

（2）因为的面积为，所以，

所以，因为，所以，

所以，

所以，故为直角三角形.

21．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，又为的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与所成角的余弦值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据可得平面，再由得到平面，即可得证；

（2）设正方体棱长为，求出的边长，利用余弦定理计算得出答案；

【详解】（1）证明：、是、的中点，

．

平面，平面，

平面．

又且，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面．

又，平面，平面，

平面平面．

（2）解： ，

为直线与所成角．

设正方体棱长为，则，

，

在中，，

所以直线与所成角的余弦值为．

22．已知直线过定点，且与圆交于、两点．

(1)求直线的斜率的取值范围．

(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是定值为

【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解之即可；

（2）设，，设直线的方程为，将该直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出的值.

【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为.

若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，

由题意可得，解得.

因此，直线的斜率的取值范围是.

（2）解：设，，设直线的方程为.

联立，得，其中，

所以，，

则，

所以为定值.