初中数学北师大版八年级下册4 角平分线示范课课件ppt

课题

1.4.1　角平分线的性质定理及判定定理

授课人

CQY

教学目标

1. 探索并理解角平分线的性质和判定．

2．会运用角平分线的性质和判定解决有关问题．

教学重点

利用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.

教学难点

掌握角平分线的性质定理及其逆定理并能进行证明.

授课类型

新授课

课时

1课时

教学活动

教学步骤

师生活动

设计意图

环节一：

创设情境、导入新课

【课堂引入】

如图是小明制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？

以生活中的实例引入，充分调动学生的学习兴趣，也体现了数学来源于生活．引导学生从三角形全等的角度说明，充分利用此例揭示角平分线的作法．

环节二：

实践探究、交流新知

【探究新知】

一、角平分线的性质定理

1．将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD，PE，量一量PD，PE的长度，你有什么发现？

猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等．

2．证明角平分线的性质．

我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即：

(1)明确命题中的已知和求证；

(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

已知：∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：PD＝PE.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.

在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE.

3．几何语言

∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE.

定理1  角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．

【注意】（1）满足三条件；

（2）角平分线的性质定理可用来说明两条线段相等；

（3）角的平分线是射线，而三角形的就角平分线是线段.

二、角平分线的判定定理

想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

（1）写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这一命题的逆命题．

（2）判断问题（1）中得到的逆命题是不是真命题．

（3）证明“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.

（4）角平分线的判定定理用符号语言怎样表示？

（5）角平分线的判定定理的特征是什么？

已知：P是∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且PA＝PB.

求证：点P在∠MON的平分线上．

证明：连接OP.

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)．

∴∠1＝∠2.

∴OP平分∠MON，

即点P在∠MON的平分线上．

几何语言：

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，

∴∠1＝∠2(OP平分∠MON).

定理2  角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

【注意】（1）定理中的“距离”是指从角平分线上任何一点（不包括顶点）向角两边所作垂线段的长度，是一个正实数，“距离”两字不能漏掉；

（2）不可忽视“在一个角的内部”这一条件，因为在角的外部也存在到角的两边距离相等的点.

通过写成已知、求证的形式，使学生分清定理的题设和结论；学生通过独立思考、规范的证明可以加深对定理生成过程的理解与掌握.

环节三：

开放训练、体现应用

【典型例题】　　

例1　(教材第29页例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°.

在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，

∴DE＝AD＝5.

例2　如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF.求证：BD＝CD.

证明：连接AD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，

∴∠BAD＝∠CAD.

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴BD＝CD.

【变式训练】

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若AB＝10，S△ABD＝15，求CD的长．

解：过点D作DE⊥AB于点E.

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC

∴DE＝CD

∴S△ABD＝AB·DE＝×10·DE＝15，解得DE＝3

∴CD＝3

2.如图所示，已知E，F为AB，AC上的点，且BF⊥AC，CE⊥AB，BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．

证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，

∴△BDE≌△CDF(AAS)．

∴DE＝DF.

∴点D在∠BAC的平分线上．

通过例题的解决，加深学生对本课知识的掌握，使学生加深对角平分线性质和判定的运用和理解.

环节四：

课堂检测、

巩固新知

【课堂检测】

1.如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA，垂足为D.若PD＝5，Q为OB上一动点，则PQ的最小值为5．

2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

(1)求证：AM平分∠DAB；

(2)若AD＝5，BC＝4，求四边形ABCD的面积．

解：(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E，

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.

∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME.

∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB.

(2)∵BC＝4，

∴ME＝BM＝BC＝2.

在Rt△AEM和Rt△ABM中，

∴Rt△AEM≌Rt△ABM(HL)．

同理Rt△DCM≌Rt△DEM(HL)．

∴S四边形ABCD＝2S△AMD＝2××5×2＝10.

针对本课时的重难点，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.

环节五：

课堂小结、

整体感知

1.课堂小结：

本节课学到了什么知识？

（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．

（2）角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

2．布置作业：

(1)教材第29页随堂练习第1，2题．

(2)教材第30页习题1.9第1，2，3，4题.

注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.

板书设计

教学反思