八年级下册4 角平分线优秀ppt课件

这是一份八年级下册4 角平分线优秀ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，导入新课，讲授新课，1角的平分线，3垂直距离，P到OA的距离，P到OB的距离，角平分线上的点，∴EBFC，想一想等内容，欢迎下载使用。

1.探索证明角平分线的性质和判定.2.能运用角平分线性质和其判定解决实际问题.3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
要在一个三角形居住区内修有一个学校P，要求P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请问学校P的位置应建立在何处？你能在标出来吗？
你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
思考：角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？
不相同.线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离，而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离，因此角平分线性质定理中才要求过点作角的两边的垂线.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.书写格式： 如图，∵OP平分∠AOB， PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE.
3.定理应用所具备的条件：
(2)点在该平分线上；
4.定理的作用：证明线段相等.
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
如图，点 P是平面内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，点P在∠AOB的角平分线上吗？
上面逆命题的准确说法应该怎样说？
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB.
1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
3.应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
1.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是(　 　)A.①和②B.②和③　C.①和③D.全对
2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(　 　)
A.3B.4 C.5D.6
3. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∠BAC=50°, ∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= (　 　)A.75° B.80°C.85° D.90°
4、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的结论个数是 (　 　)A.1　B.2C.3　D.4
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=45°, AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为_______. 
6.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm.
7. 如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长.
8. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.
9.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
(1)则点P到AB的距离为_______.
解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
(2)求△APB的面积.
(3)求∆PDB的周长.
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上