2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有

A．36种 B．48种 C．96种 D．192种

【答案】C

【详解】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．

【解析】分步计数原理

点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．

2．的二项展开式中的常数项为（    ）

A．1 B．6 C．15 D．20

【答案】D

【解析】化简得到展开式的通项为，令，即可求得展开式的常数项.

【详解】由题意，二项式展开式的通项为，

令，可得展开式的常数项为.

故选：D

【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.

3．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放到验钞机上检验发现是假钞，则另张也是假钞的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件抽到的至少张钞票是假钞，记事件抽到的张钞票都是假钞，

则，，

因此，.

故选：C.

【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤：

（1）分析题意，弄清概率模型；

（2）计算、；

（3）代入公式求.

4．元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（    ）．

A．32种 B．70种 C．90种 D．280种

【答案】B

【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解.

【详解】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，

即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有种．

故选：B

【点睛】本题考查定序问题的处理，关键是将实际问题转化为定序模型，属于中档题.

5．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（    ）

A．10种 B．12种 C．16种 D．24种

【答案】A

【分析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.

【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；

如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.

综合得不同的安排方案共有10种.

故选:A

6．若的展开式中的系数为20，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得的展开式中和的系数，因此可以得到的展开式中的系数，进而可以解得.

【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，所以的展开式中的系数为，由得.

故选：A.

7．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据贝叶斯概率公式计算即可.

【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，

则，，，，

故所求概率．

故选：A.

8．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件“三次取到的球颜色都不相同”，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求解出和，根据条件概率公式可求得结果.

【详解】事件表示三次取到的球颜色都不相同    

又    

本题正确选项：

【点睛】本题考查条件概率的求解问题，关键是能够准确理解积事件的含义，并求解出对应的概率.

二、多选题

9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ）

A．从中任选1个球，有15种不同的选法

B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】ABD

【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.

【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；

B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；

C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；

D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.

故选：ABD

10．目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布，则下列选项正确的是（    ）

附：若随机变量，则．

A．甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在的概率约为0.6827

B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中

C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5．则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大

D．乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等

【答案】AC

【分析】由题知甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布知，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布，进而根据正态分布的对称性和原则依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布知，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数服从正态分布，

对于A选项，所以，即甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在的概率约为0.6827，故A选项正确；

对于B选项，由于，故乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B选项错误；

对于C选项，对于甲生产线，，

，显然，所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C选项正确；

对于D选项，，，故D选项错误.

故选：AC

11．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ）

A．各项二项式系数之和为 B．各项系数之和为1

C．只有第5项的二项式系数最大 D．常数项为672

【答案】BD

【分析】由二项式系数的性质可判断A、C；令可判断B，利用二项式展开式的通项公式可判断D.

【详解】二项式系数之和为，故A错误；

令，得各项系数之和为，故B正确；

展开式共有10项，故二项式系数最大项是第5项和第6项，故C错误；

二项式展开式的通项为，

令即，可得常数项为，故D正确．

故选：BD．

12．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝腺落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式，计算m取各个值的概率即可判断作答.

【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，

小球从第6行第m个缝隙落下，则6次碰撞有次向右，

其概率为，，

于是得，，，，

所以选项A，D不可能，选项B，C可能.

故选：BC

三、填空题

13．若，若，则______．

【答案】2

【分析】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和以及．

【详解】展开式的通项为，令，则，即，

故，令，得.

又，所以

故

故答案为：

14．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为__________．

【答案】

【分析】首先记、、正常工作分别为事件、、；，易得当正常工作与、至少有一个正常工作为互相独立事件，而“、至少有一个正常工作”与“、都不正确工作”为对立事件，易得、至少有一个正常工作的概率，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．

【详解】解：根据题意，记、、正常工作分别为事件、、；

则；

、至少有一个正常工作的概率为；

则系统正常工作的概率为；

故答案为．

【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系，理解掌握乘法原理是解决本题的知识保证，本题属于中档题．

15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

【答案】390

【详解】用2色涂格子有种方法,

用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种,

所以涂色方法种方法,

故总共有390种方法.

故答案为:390

16．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为_______.

【答案】3

【分析】设口袋中有白球个，由已知可得取得白球的可能取值为，，，则服从超几何分布，利用公式()，即可求得答案.

【详解】口袋中有白球个，由已知可得取得白球个数的可能取值为，，

则服从超几何分布，，

，，

，

故答案为：．

【点睛】本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

四、解答题

17．将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中

(1)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？

(2)若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？

【答案】(1)144种

(2)8种

【分析】（1）依据特殊位置法去求恰好有一个空盒有多少种放法；

（2）依据错排问题的解法去求即可解决.

【详解】（1）先取四个球中的两个“捆”在一起，有种选法，

把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，

有种投放方法，所以共有（种）放法．

故共有144种放法．

（2）一个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，

故共有（种）放法．

故共有8种放法．

18．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)设，求的值；

(3)求的展开式中的系数.

【答案】(1)答案见解析

(2)0

(3)560

【分析】（1）选择①，由，得，选择②，由，得；

（2）利用赋值法可求解；

（3）分两个部分求解后再求和即可.

【详解】（1）选择①，因为，解得，

所以展开式中二项式系数最大的项为

选择②，因为，解得，

所以展开式中二项式系数最大的项为

（2）令，则，

令，则，

所以，

（3）因为

所以的展开式中含的项为：

所以展开式中的系数为560.

19．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则将其更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率为0.1，且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）若取3件该产品，求其中至少有1件不合格品的概率；

（2）已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用，现对一箱产品已检验了20件：

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求；

（ii）以这一箱产品的检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对这箱余下的所有产品作检验.

【分析】（1）利用对立事件的概率，先求3件产品都合格的概率，即可得至少有1件不合格品的概率；

（2）（i）Y表示余下的180件产品中的不合格产品数，则，，即有，根据二项分布期望公式求期望即可；

（ii）比较（i）所得期望与400比较，即可确定是否对剩余产品做检验.

【详解】（1）记“取出的3件该产品中，至少有一件不合格品”为事件A，；

（2）（i）Y表示余下的180件产品中的不合格产品数.

依题意知，而，

∴

（ii）如果对应该箱余下的产品做检验，则这一箱产品所需的检验费用为元

由于，故应该对这箱余下的所有产品作检验.

20．某超市“五一”劳动节举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于400元，均可抽奖一次，她奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折，若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．

(1)若甲、乙两顾客均消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．

(2)若顾客丙消费恰好满800元，试比较说明该顾客选择哪种方案更划算．

【答案】(1)；

(2)丙选择方案一更划算.

【分析】（1）先求出每人享受折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解；

（2）若丙选择方案一，设其所需付的钱为，求出相应的概率，分布列以及数学期望，若丙选择方案二，设其所需付的钱为，求出数学期望，比较和的大小即可做出选择.

【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A，则

∴甲、乙两人其中有一人享受6折优惠的概率为．

（2）若丙选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为480，640，800．

则，，．

故X的分布列为

∴（元）．

若丙选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则．

由已知，可得，故，

∴（元）．

由上知：，

故丙选择方案一更划算．

21．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.

(1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

(2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出甲第一局获胜、第一局平局第二局获胜的概率可得答案；

（2）分别求出乙恰好经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率，由三局比赛晋级决赛的概率除以经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率和可得答案.

【详解】（1）设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，

则.

（2）记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D，

则，

，

，

故在乙最后晋级决赛的前提下，

乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为.

22．为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满100元，即可获得一次抽奖的机会，假定每次中奖的概率均为，不中奖的概率均为，且各次抽奖相互独立.活动规定：第1次抽奖时，若中奖则得10分，不中奖得5分；第2次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：方案一：若中奖则得30分，不中奖得0分；方案二：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.当抽奖次数大于两次时，执行第2次抽奖所选的方案，直到抽奖结束.

(1)甲顾客单次消费了200元，获得了两次抽奖机会.

①若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分；

②若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案？请说明理由；

(2)乙顾客单次消费了1100元，获得了11次抽奖机会，记乙顾客11次抽奖共中奖k次的概率为，求的最大值点

【答案】(1)①甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为，此时得分为；②选择方案一，理由见解析

(2)或

【分析】（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；

（2）易得中奖情况满足二项分布，根据二项展开式的通项的最大值大于等于前后两项列不等式求解即可

【详解】（1）①由题意，甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为，此时得分为；

②若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．       

，，，， 所以．            

若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，

则，，，，       

因为，所以应选择方案①．

（2）由题意，，可得最大值点满足，即，化简可得，解得，故或