2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ）

A．12种 B．16种 C．64种 D．81种

【答案】C

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．

故选：C

2．现有A、B、C、D、E五人，随意并排站成一排，A、B相邻且B在A的右边的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出5人站成一排的基本事件种数，要求概率的事件的的基本事件数，再利用古典概率公式计算作答.

【详解】依题意，A、B、C、D、E五人站成一排的基本事件数有个，它们等可能，

A、B相邻且B在A的右边的事件的基本事件数有，

所以A、B相邻且B在A右边的概率为.

故选：C

3．设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和性质分析出的单调性以及项的取值正负，从而确定出，由此可得选项.

【详解】因为，所以，所以，

又因为，所以，所以，

又，所以，

所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值，

所以，

故选：C.

4．的展开式中，共有多少项？（    ）

A．45 B．36 C．28 D．21

【答案】A

【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.

【详解】解：当展开式的项只含有1个字母时，有3项，

当展开式的项只含有2个字母时，有项,

当展开式的项含有3个字母时，有项,

所以的展开式共有45项；

故选：A.

5．已知的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中的系数为（    ）

A．15 B．21 C．30 D．35

【答案】B

【分析】先根据已知条件求出的值，然后求出的展开式的通项公式，根据多项式的乘法即可求出结果.

【详解】由题意知，所以，又因为的展开式的通项公式为，

所以展开式中的系数，

故选：B.

6．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．

【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），

在男生甲被选中的情况下，

基本事件总数，

男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：

，

男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．

故选：C.

7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（    ）

A．999 B．749 C．499 D．249

【答案】A

【分析】构造法判断为等比数列，为常数列，进而可得，再由，结合新定义有，最后利用裂项相消法求的前n项和.

【详解】由，得，又，

所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则①，

由得：，又，

所以数列是常数列，则②，

由①②联立得.

因为，所以，即，

所以，故，

所以，则.

故选：A

8．设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则为递增数列

B．若，则为递增数列

C．若为递增数列，则

D．若为递增数列，则

【答案】D

【分析】结合等比数列、数列的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设等比数列的公比为，，

A选项，若，即，

，其中的符号无法判断，

所以无法判断的单调性，A选项错误，

B选项，若，即，

则可能，则，为常数列，B选项错误.

C选项，若为递增数列，则，但无法判断的单调性，C选项错误.

D选项，若为递增数列，则,,

所以，所以，故D选项正确.

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若，且，则

B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位

C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则

【答案】ABD

【分析】由的方差公式可判断A； x增加1个单位时计算y值与原y值比较可判断B；由线性相关系数|r|的性质可判断C；根据正态曲线关于x=1对称即可判断D.

【详解】对于选项A，由，，则，所以，故正确；

对于选项B，若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确；

对于选项C，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；

对于选项D，在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，解题的关键点是熟练掌握有关概念和性质，属于基础题.

10．若为等比数列，则下列说法中正确的是（    ）

A．为等比数列

B．若则

C．若则数列为递减数列

D．若数列的前项的和则

【答案】ABC

【分析】利用等比数列的定义可以判定A;根据等比数列的性质可以判定B;利用等比数列的通项公式列出不等式组，根据不等式得性质进行分析，可得时，, 当时，，利用等比数列的通项公式，结合指数函数的单调性，可以判定C；利用一般数列的和与项的关系求得通项公式，根据等比数列的通项公式的性质求得的值，进而判定D错误.

【详解】为等比数列，∴为定值，∴为常数，

∴为等比数列，故A正确；

∵,∴，又∵,∴,故B正确；

由得,

同号，∴,∴,当时，,由指数函数的性质可知是单调递减的，∴是单调递减数列，

当时，,由指数函数的性质可知是单调递增的，为单调递减数列，故C正确；

若数列的前项的和则当时，,当时，,由于等比数列的通项公式对于时也是成立的，故,故,故D错误；

故选：ABC.

【点睛】本题考查等比数列的判定、性质，等比数列的前项和的性质，等比数列的单调性，难点是数列单调性的分析和判定，另外一般数列的和与项的关系时，,当时，一定要熟练掌握.

11．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（    ）

A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是；

B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为；

C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为；

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.

【答案】AC

【分析】A应用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服从分布，应用二项分布概率公式求出对应事件的概率；C由题设第二次取球时剩余4个红球、2个白球即可判断.

【详解】A：任取3球恰有一个红球的概率，正确；

B：由每次取到红白球概率分别为，则取到白球服从分布，则恰好有两个白球的概率，错误；

C：第一次取到红球，则剩余4个红球、2个白球，故第二次取到红球的概率为，正确；

D：由B分析知：，错误.

故选：AC

12．已知二项式，则下列说法正确的是（　　）

A．若a＝1，则展开式中的常数项为15

B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1

C．若展开式中的常数项为60，则a＝2

D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝2

【答案】AB

【分析】根据二项式定理的展开式通项，代入或求解验证，即可得到答案.

【详解】二项式，

对于A，若a＝1，则展开式的通项，

令，得r＝4，故所求常数项为，故A正确；

对于B，若a＝2，令x=1，则展开式中各项系数之和为，故B正确；

对于C，由通项，

令，得r＝4，

故所求常数项为，解得，故C错误；

对于D，令x=1，则展开式中各项系数之和为，

由已知得，，解得a＝﹣1或a＝3，故D错误.

故选：AB．

三、填空题

13．已知数列的前项和为，，则_______

【答案】

【分析】直接利用即可求的通项公式.

【详解】由已知条件，知当时，；

当时，；

当时不满足上式，

∴，

故答案为：.

14．编号为的5个小球，放入编号为的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有___________种.（填写数字）

【答案】50

【分析】从1号盒的放球个数来分类，逐类求解可得答案.

【详解】若1号盒子只放一个球，则2号盒和3号盒共放4个球，有种；

若1号盒子放两个球，则有种；

若1号盒子放三个球，则有种；

所以共有种.

故答案为：50.

15．设某批产品中，编号为、、的三家工厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，则取到的是次品的概率为______．

【答案】

【分析】设表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”，

则，，，

，，，

由全概率公式可得

．

故答案为：.

16．已知数列 中，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．

【答案】

【分析】由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得恒成立，转化为最值问题可得实数的取值范围．

【详解】由题意数列中，，

即，

则有，

则有

又对于任意的，，不等式恒成立，

即对于任意的恒成立，

即对于任意的恒成立，

则，解得或.

故答案为：.

【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将变形为．

四、解答题

17．已知数列各项均为正数，且，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求.

【答案】(1)

(2)20

【分析】（1）由得到，结合得到，所以数列是等差数列，求出通项公式；

（2）在第一问的基础上得到，从而分组求和得到答案.

【详解】（1）因为，所以，

因为是各项均为正数的数列，所以，故

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

则.

（2），则，

所以.

18．“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间．同学甲和同学乙约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少．某周甲乙两人每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中学生甲周日的阅读时间m忘了记录，但知道．

(1)求同学甲的本周阅读时间之和超过同学乙的本周阅读时间之和的概率；

(2)根据同学甲本周前5天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计同学甲周日阅读时间m的值．参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】(1)

(2)，36

【分析】（1）求出甲同学的阅读时间之和的可能性，乙同学的阅读时间之和，求出概率

（2）将表格数据代入公式求出回归方程，令即可求出m的值

【详解】（1）依题意．，则m的取值一共有25个不同结果，它们等可能．

令，解得，

因此，当甲这一周的阅读时间超过乙这一周的阅读时间时，m的取值一共有15个不同结果，所以甲这一周的阅读时间超乙这一周的阅读时间的概率为．

（2），计算得： ，，∴     将代入估计：

19．设数列满足，且.

(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

(2)设，求数列的前99项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据递推式，变形为，由等差数列定义可证明结论；利用累加法求得通项公式；

（2）根据，利用并项求和法，可得答案.

【详解】（1）由已知得， 即，

是以2为首项， 2为公差的等差数列.

，

当时，,

当时，也满足上式，所以;

（2）,

当时，

20．2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则：

(1)甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；

(2)现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据全概率公式，结合每个位置获胜的概率求解即可；

（2）根据题意可得可能的取值为，再根据每场胜利概率，结合条件概率与组合数求解分布列与数学期望即可.

【详解】（1）设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”；“某场比赛中该球队获胜”；

则，，，，，，

由全概率公式可得：.

所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是.

（2）设“5场中有场获胜”，“甲所在球队顺利晋级”，

；；，则，

，

同理可得，

，

则的分布列为：

21．2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

(1)依据小概率值的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？

(2)假设潜伏期Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当k为何值时，取得最大值？

附：．

若随机变量Z服从正态分布，则，，，．

【答案】(1)认为“长潜伏期”与年龄无关．

(2)答案见解析

(3)k＝250

【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论；

（2）求出，由正态分布的对称性求出，根据小概率事件得到相应结论；

（3）表达出，得到，从而得到的单调性，得到取得最大值时k的值.

【详解】（1）零假设为H0：“长潜伏期”与年龄无关，依据表中数据，得：

，

依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，

故认为“长潜伏期”与年龄无关；

（2）由题意知潜伏期，由，

得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；

（3）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，

于是.

则，

当且时，；

当且时，；

∴，．

故当k＝250时，g(k)取得最大值．

22．已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，，推得，结合，求得，从而求得.

（2）由，结合（1）中，求得，；代入问题所示表达式，由，进行裂项求和，将不等关系转化为，从而求得参数取值范围.

【详解】解：（1）∵，

.

∵，∴，

∵，∴.

∵，∴，∴.

（2）∵，，

∴.∵，

∴，

∴，∴，.

∵

∴

两边同乘以（时，），

∴条件不等式等价于，

∴当n为偶数时，恒成立，当时，，故；

当 n为奇数时，恒成立，当时，，故；

故.

【点睛】方法点睛：根据和求得与的关系，分别根据题目条件给出的求得数列通项；型如，可以通过这种方法进行裂项求和，对于含有型的表达式，需要分奇偶讨论，分别求得参数取值范围.