2022-2023学年江西省金溪县第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省金溪县第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．若集合，则的子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.

【详解】解：，则的子集个数为个，

故选：D.

2．设，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的性质即得.

【详解】∵，

∴，，，

∴.

故选：C.

3．某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（    ）

A．20 B．25 C．40 D．50

【答案】A

【分析】直接利用分层抽样，即可计算.

【详解】因为学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，

所以应抽取博士生的人数为．

故选：A

4．下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.

【详解】若“是集合的真子集”

所以，

所以方程有实数解，

当时，由可得，符合题意，

当时，由可得，

所以且，

综上所述：的充要条件为；

即“是集合的真子集”成立充要条件为；

所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，

由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；

故选：D.

5．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

6．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（    ）天（参考数据：）

A．200天 B．210天

C．220天 D．230天

【答案】D

【分析】由题设有，应用指对数互化及对数的运算性质求值即可.

【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，

则，即天.

故选：D.

7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围

【详解】解：令，

∵ 在上单调递减，

∴ 在内递增，且恒大于0，

且，

．

故选：C．

8．已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案.

【详解】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数.

对任意的,

问题

，

记，则问题

因为，当且仅当时取“=”，

所以.

故选：D.

【点睛】本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可.

二、多选题

9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.

【详解】解：的定义域为．

对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；

对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；

对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；

对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．

故选：ACD．

10．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】抓住，的特征及，逐项判断即可.

【详解】对，，定义域不关于原点对称，故A项不符合；

对，，，故B项符合；

对，，定义域不关于原点对称，故C项不符合；

对，定义域关于原点对称，

当时，，；

当时，，，故D项符合，

故选：BD

11．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，的取值范围为

C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.

【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，

又，即，因此有，即，

于是有，从而得函数的周期，

对于A，，A不正确；

对于B，当时，，有，则，

当时，，，有，

，当时，的取值范围为，B正确；

对于C，，函数为奇函数，C正确；

对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：

方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，

观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

12．已知正数a，b满足，则（    ）

A．的最大值是

B．的最大值是

C．的最小值是

D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】A、B选项由基本不等式直接判断即可；C选项分别求出的范围即可判断；D选项令，平方整理后，利用即可判断.

【详解】由得，当且仅当时取等，A正确；

由得，当且仅当时取等，B正确；

由正数a，b及知，，可得，故，C错误；

令，则，两边同时平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________．

【答案】4

【分析】本题可根据题意得出函数仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果.

【详解】因为函数存在零点且不能用二分法求该函数的零点，

所以由二次函数性质易知，函数仅有一个零点，

，解得，

故答案为：.

14．已知函数，若，则实数______．

【答案】

【分析】分和两种情况，解方程及，结合范围求得结果.

【详解】当时，由得，此方程无实数解；

当时，由得，解得．

故答案为：.

15．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果．

【详解】，定义域为，

则，可知函数为奇函数，

又均为增函数，所以为增函数，

由，得，即，

则，即，

由题意可知，对任意的，恒成立，

令，

所以，解得，

所以的取值范围为．

故答案为：．

16．已知，函数，其中是自然对数的底数．若函数有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】首先作出的函数图像，令，将零点问题转化为二次函数零点，再一步转化为与的图像交点问题，结合图像分析的范围，即可间接求出参数的范围.

【详解】令,则的有且仅有三个零点，等价于与的图像有且仅有三个交点.

①当只有一解时，此时，即.而时，代入，解得，此时与没有三个交点，舍去；当时，代入解得，由图像可知，此时与图像有有三个交点，符合题意，;

②当有两个解时，即或.设解分别为和，则与以及两条直线有三个交点即可.，当时，由图形可知，不符合题意，故，此时.当，时，此时函数图像共有三个交点，则此时，由韦达定理知，，解得，与矛盾，不符合题意；当，时，由二次函数根分布的条件可知有，解得.

综上所述，有三个零点时，范围为.

故答案为：

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.

（2）根据对数的运算性质即可化简求值.

【详解】（1）

（2）

18．已知，

(1)当时，求;

(2)已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)．

【分析】（1）先解对数不等式得到集合A，再解指数不等式得到集合，由此利用数轴法对集合进行交并补运算即可；

（2）先求得集合，再由题设条件得到，由由此利用数轴法对集合进行运算即可.

【详解】（1）因为，所以由的单调性可得，

即，解得或，故或，

当时，由，得 ，故，即，故，所以，

所以或，

（2）由得，故，即，故，

由“”是“”的必要条件得，

所以，解得，即.

19．定义域为的奇函数满足，且当时，.

(1)求的解析式；

(2)讨论函数的零点个数.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）先利用奇偶性得到，再由二次函数的性质得到，从而利用奇偶性求解析式的方法求得的解析式；

（2）构造函数，可知不是的零点，从而将问题转化为讨论与的图像的交点个数，结合图像可得讨论结果.

【详解】（1）因为为奇函数，

所以，即，

又因为当时，，故的对称轴为，

又由可知二次函数的对称轴也为，

所以，得，故，

当时，则，；

当时，由奇函数的性质可知；

综上：.

（2）由（1）可知，令，易知不是的零点，

令，此时，则问题转化为：

讨论当时，方程，即的解的个数，

当时，方程，即的解的个数，

令，，则问题再次转化为讨论与图像的交点个数，

当时，双勾函数在上单调递减，在上单调递增，故，

当时，在上单调递减，其图像大致如图，

结合两个图像可知，

(i)当，即时，与的图像有一个交点；

(ii)当，即时，与的图像有两个交点；

(iii)当，即时，与的图像有三个交点；

综上：当时，有一个零点；

当时，有两个零点；

当时，有三个零点.

.  

20．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：

①；②；③．

(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【答案】(1)符合，

(2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh

【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；

（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可

【详解】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数

与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，

故是可能符合表格中所列数据的函数模型.

由，得：，所以

（2）由题意，高速路上的耗电量

任取，当时，

所以函数在区间上是增函数，所以Wh    

国道上的耗电量

所以Wh                         

所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh

21．已知函数为奇函数．

(1)求实数k的值；

(2)若对任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据求解即可；

（2）求得和在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可.

【详解】（1）因为x∈R，为奇函数，所以，

所以，，经检验，满足题意，

故.

（2）因为任意的x2∈，存在x1∈，使成立，

所以在[t,+)上的最小值小于或等于在[1,2]的最小值，

易知＝ex﹣e﹣x在R上为增函数，所以在[t,+)上也为增函数，

所以的最小值为f(t)＝et﹣e﹣t，

令m＝|x﹣t|，当t≤1时，m＝|x﹣t|在x＝1处取小值为1﹣t，所以的最小值为e1﹣t，

所以et﹣e﹣t≤e1﹣t，即(et)2≤1+e，所以，所以；

当1＜t＜2时，m＝|x﹣t|在x＝t处取小值为0，所以的最小值为e0＝1，et﹣e﹣t≤1，

即，令k＝et，k＞0，则k2﹣k﹣1≤0，解得，

即，解得＜＝1，与t＞1矛盾，故舍去；

当t≥2时，m＝|x﹣t|在x＝2处取小值为t﹣2，所以的最小值为et﹣2，et﹣e﹣t≤et﹣2，即，

所以与t≥2矛盾，故舍去．

综上所述，t的范围为：．

下证＝ex﹣e﹣x在R上为增函数：

在上任取，则，

又当时，，，故，即，

故＝ex﹣e﹣x在R上为增函数.

22．对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”．

（1）判断，是否为“函数”，并说明理由；

（2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围．

【答案】（1）不是，答案见解析；（2）．

【解析】（1）反证法.假设其为“函数”，代入值得到两组等式，相减，分解因式得到，与题设矛盾.故不是“函数”.

（2）分类讨论分析的单调性，只有时符合题意.通过运算得到三者关系式，，，由的最小值为5，得到取值范围满足，从而得到的取值范围.

【详解】（1）若，是“函数”，

则满足

则，两式相减得

故

即，则这与矛盾

故，不是否为“函数”

（2），

①若，则，则在时单调递减，故不满足存在使得，不合题意

②若，因为，单调递减，且

故时，单调递减，故时，单调递增，

故，

，

，

若

则，则，故

得，不合题意

若

则，则，故

得.

故，，

若中存在实数、满足且，的最小值为5.

故在中存在满足，且

故，故

综上所述，的取值范围为

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.