2022-2023学年江西省瑞金市第三中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省瑞金市第三中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由交集的定义即可求解.

【详解】因为， ，

则．

故选：A

2．不等式 的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将不等式转化为，再转化为一元二次不等式即可得解.

【详解】因为，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

故选：B.

3．下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．若，且，则

C．当时，的最小值为2 D．当时，无最大值

【答案】A

【分析】由基本不等式判断选项A，举例判断B，确定等号成立的条件判断C，由函数的单调性判断D．

【详解】选项A，时，，当且仅当时等号成立，A正确；

选项B，例如，则，B错；

选项C，，但取不到1，C错；

选项D，时，函数是增函数，所以时，，D错．

故选：A．

4．“<2”是“” 成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

详解：由x（x﹣1）＜0得0＜x＜1，

则“x＜2”是“x（x﹣1）＜0”成立的必要不充分条件，

故选B．

点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

5．已知命题：“”，则命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定形式，验证选项选出答案即可.

【详解】由全称命题的否定是特称命题可知，

命题：“”的否定是，

选项B正确.

故选：B.

6．已知，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：因为，，

所以，，

所以，即

故选：C

7．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案.

【详解】当时，原式化为，显然恒成立；

当时，不等式对一切恒成立，

则有且，解得.

综上可得，.

故选：C

8．若，，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．16 C．49 D．81

【答案】D

【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.

【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．

故选：D

二、多选题

9．设，，若，则实数a的值可以为（    ）

A．0 B． C． D．3

【答案】ABC

【分析】求出集合，，由得，分和两种情况即可，由此求出实数的值．

【详解】，，

，，

，

当时，；

当时，，则或，

解得或，

实数的值可以为0，，．

故选：ABC．

10．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.

【详解】当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

11．下列说法正确的是（      ）

A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题

B．“”是“”的充要条件

C．命题“，”的否定是“，”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】CD

【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义，结合特殊值法判断各选项．

【详解】是无理数，是有理数，A错；

时，，但，不是充要条件，B错；

命题的否定是：，C正确；

因为，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件，D正确．

故选：CD．

12．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。

【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；

对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；

对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；

对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．

【答案】±1

【分析】分析出集合A有1个元素，对a讨论方程解的情况即可.

【详解】因为集合有且仅有两个子集，

所以集合A有1个元素.

当a=1时，，符合题意；

当a≠1时，要使集合A只有一个元素，只需，解得：；

综上所述： 实数a的值是1或-1.

故答案为：±1.

14．“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .

【答案】

【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.

【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，

即“，”是真命题，

当时，，不等式显然成立，

当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，

综上，实数的取值范围为.

故答案为：.

15．已知正实数满足，则的最小值为___________.

【答案】1.8

【分析】由得，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值．

【详解】正实数满足，所以，

则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.

故答案为：．

16．不等式的解集为_______

【答案】或

【分析】将不等式化为，则，再根据高次不等式得解法即可得解.

【详解】解：由，

得，

即，

解得或，

所以原不等式的解集为或．

故答案为：或.

四、解答题

17．（1）解不等式；

（2）解不等式组.

【答案】（1）；（2）

【分析】由一元二次不等式的解法求解

【详解】（1），即，得，故原不等式的解集为，

（2）由得，解得或，

由得，解得，

故原不等式组的解集为

18．已知集合，．

(1)若，求；

(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)将代入直接求解；

(2)由“，使得”是真命题可得，再分和讨论；

【详解】(1)；

当时，，

或，

；

(2)“，使得”是真命题，

，

当时，，解得；

当时，

，解得，

综上当“，使得”是真命题时的取值范围是．

19．已知集合，其中.

（1）若，求实数m的值；

（2）已知命题，命题，若p是q的充分条件，且，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意知，方程的两根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数的值；

（2）求出集合和集合B，结合题中条件得出，可列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1）由题意，是方程的两根，

由韦达定理得：，解得，经检验符合条件.

（2）由题意，，

因为，则，

由已知得，，解得.

【点睛】本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，关键点是利用充分条件关系得出，求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，属于中等题.

20．（1）求函数的最小值；

（2）解关于的不等式：.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】(1)将函数解析式变形为，利用基本不等式即可得出结果；

(2)利用含参一元二次不等式的解法解不等式，对参数的取值分类讨论即可解出对应的解集..

【详解】(1)由题意知，，则

，

当且仅当即时等号成立，

故函数的最小值为.

(2)由题意知，

原不等式可变形为：，

不等式对应的方程为：，

解得，

当时，不等式的解集为：，

当时，不等式的解集为：，

当时，不等式的解集为:.

21．已知关于x的不等式的解集为或.

(1)求a，b的值；

(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出、的值；

（2）由（1）可得，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．

【详解】(1)因为不等式的解集为或，

所以7和是方程的两个实数根且，

所以，解得．

(2)由（1）知，于是有，

故，当且仅当时，等号成立，

依题意有，即，

得，所以的取值范围为，．

22．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】(1)由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

(2)∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．