2022-2023学年江西省上饶市第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省上饶市第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．函数（且）恒过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的知识确定正确选项.

【详解】当，即时，，所以定点为.

故选：C

2．己知a、b、c∈R，那么下列命题中正确的是（     ）

A．若ac>bc，则a>b B．若则a<b

C．若 a³>b³，则a>b D．若a²>b²，则a>b

【答案】C

【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.

【详解】对于A，若，，则，故A错误；

对于B，若，，则但，故B错误；

对于C，若，此时，∴，故C正确；

对于D，若取，，则，故D错误．

故选：C．

3．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的解集可得a的符号，以及a、b的关系，然后代入目标不等式可解.

【详解】因为不等式的解集是，

所以，且是方程的根，故，即，

所以，

求解可得，即不等式的解集为.

故选：C

4．已知，若，则（    ）

A．4042 B．2024 C． D．

【答案】A

【分析】计算再求解即可.

【详解】由题意，，故，.

故选：A

5．方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质计算.

【详解】由题意，得，

故.

故选：D.

6．函数的零点个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】当时，将函数的零点个数转化为函数与函数，在上的交点个数，利用数形结合即得；当时，解方程，即得.

【详解】当时，，

则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数，

作出两个函数的图象如下图所示，

由图可知，当时，函数的零点有两个，

当时，，可得或(舍去)

即当时，函数的零点有一个；

综上，函数的零点有三个.

故选：C.

7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．

【详解】因为在上单调递增，

所以当时，，

若函数的值域为R，

则，

解得．

故选：A.

8．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由于，，故分别对其取以为底的对数和以为底的对数，进而比较大小.

【详解】解：因为，所以，即

因为，所以，即

所以，即.

故选：A

二、多选题

9．已知实数a，b均大于0，且a +b=1，则下列说法正确的是（　　　）

A．ab的最大值为 B．的最大值为

C．a2 + b2的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．

【详解】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，故有最大值，A正确；

因为，当且仅当时取等号，

故，即有最大值，故B正确；

因为，当且仅当时取等号，所以有最小值，故C正确，

的最小值为，故D错误．

故选：ABC．

10．已知正数x，y，z满足等式2x=3y=6z下列说法正确的是 （    ）

A．x>y> z B．x>z>y C． D．

【答案】AC

【分析】令，则，然后可逐一判断.

【详解】令，则.

对AB，因为，所以，故A正确，B错误；

对C，，故C正确；

对D，，故D错误；

故选：AC

11．关于函数 有下列结论，其中正确的是（    ）

A．其图象关于y轴对称

B．的最小值是

C．当时，是增函数；当时，是减函数

D．的增区间是，

【答案】ABD

【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可．

【详解】对于A，函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故A正确；

对于B，函数，当时，令，原函数变为，，原函数又是偶函数，所以函数的最小值是，故B正确；

对于C，函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故C错误；

对于D，由C，结合的图象关于y轴对称可得的增区间是，，故D正确.

故选：ABD

12．定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是（    ）

A．f(0) =0

B．f(x)为奇函数

C．f(x)在区间[m，n]上有最大值f(n)

D．f(x- 1)+f(x²-1)>0  的解集为{x|-2＜x＜3}

【答案】AB

【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，

根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；

对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；

对于C选项，任取，，且，则，，

所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；

对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项错误.

故选：AB．

三、填空题

13．_______

【答案】

【分析】根据对数的运算求解即可.

【详解】

14．已知是定义在上的奇函数，且时，，则___________.

【答案】

【分析】根据奇函数的定义即可求出．

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，

即有．

故答案为：．

15．在上定义运算：.已知时，存在x使不等式成立，则实数m的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题中给出的新定义得到一元二次不等式，根据不等式能成立的含义求解.

【详解】由定义知，存在，成立，

即，

即，

即存在，使得成立，

因为函数在上单调递增，

所以当时有最大值等于，所以，

即，解得，

故答案为: .

16．已知，设，若，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】作出函数在区间（0，1）与上的图象，根据图象可知，，，

所以由可得，再根据消元思想得，令，构造函数，即可根据二次函数的性质求出范围．

【详解】作出函数在区间（0，1）与上的图象，如图所示：

若，满足，则必有，，且，即，所以，，令，，则．设，可得，因此所求取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，．

(1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

(2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)．

【分析】（1）对集合分两种情况讨论，再综合即得解；

（2）根据题意得出为非空集合且，从而得出为非空集合时，然后可得出时或，从而可得出的取值范围．

【详解】（1）解：①当为空集时，，即，原命题成立；

②当不是空集时，，所以，解得；

综上①②，的取值范围为或.

（2）解：，使得，为非空集合且，

所以，即，

当时或，

所以或，

的取值范围为．

18．已知 是定义在R上的偶函数.

(1)求a的值;

(2)若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据偶函数满足求解即可；

（2）数形结合分析的根为2时的情况即可.

【详解】（1）有偶函数性质可得，故，即，故.

（2）由（1）可得，且当时，取得最小值，且.

故若关于x的方程，即有2个不相等的实数根，

则或，即或.

故实数m的取值范围为

19．已知.

（1）画出函数的图象，求的值域；

（2）解不等式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）化简的解析式为分段函数，再作出函数图象，得出值域；

（2）分情况讨论解不等式．

【详解】（1），

作出函数图象如图所示：

由图象可知的值域为：；

（2）当时，不等式即，解得：，

；

当时，不等式即，解得：，

.

综上，不等式的解集为：.

【点睛】本题考查函数图象以及解不等式，正确理解绝对值的含义是解题的关键，属于常考题.

20．已知函数.

(1)用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见详解；

(2).

【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；

（2）将转化为，再用换元法将不等式化为，再利用配方法求得右式的最值，进而解决问题.

【详解】（1）任取，且，则，

，

，

所以，所以在区间上单调递增.

（2）不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，

令，因为，所以，则有在恒成立，

令，则，

所以，所以，所以实数的取值范围为.

21．某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，．

(1)写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）；

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)；

(2)当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.

【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；

（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解．

【详解】（1）当时，年利润，

当时，，

∴年利润；

（2）当时，，

所以S在上单调递增，所以；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

因为，所以，

故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.

22．已知函数（a>0且a≠1）

(1)若函数的定义域为R，求实数k的取值范围：

(2)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间[2，3]上为增函数，且最大值2？求出k的值；若不存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在（或）

【分析】（1）由题意，得在R上恒成立，讨论与时，结合一次函数的性质与二次函数的判别式求出的取值范围；

（2）由题意在上恒成立，参变分离可得，再讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.

【详解】（1）由题意，在R上恒成立，则当时不恒成立；当时，易得，且，解得.

（2）要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义.即在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故，则.

①当时，要使函数在区间上为增函数，

则函数在上恒正且为增函数，

故且，即，此时的最大值为即，满足题意．

②当时，要使函数在区间上为增函数，

则函数在上恒正且为减函数，

故且，即，

此时的最大值为即，满足题意．

综上，存在（或）