2022-2023学年江西省宜春市樟树中学高一上学期（本部）第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省宜春市樟树中学高一上学期（本部）第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由集合中元素的特征判断.

【详解】选项A，B，D都是数集，且只包含一个元素，而C选项表示的集合里的元素是，则该集合不是数集.

故选：C.

2．已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

3．设全集，，，，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用集合的交并补运算判断集合的元素即得结果.

【详解】依题意，，则；，则；

，则，故.

故选：A.

【点睛】本题考查了集合的交并补运算的应用，属于基础题.

4．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1

【答案】D

【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．

【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集，

（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，，

（2）当a≠0时  则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，

当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，，

当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，．

综上所述，a的取值为﹣1，0，1．

故选：D．

5．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ）

A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行

C．对任意实数a，b，若则 D．存在一个实数x，使等式成立

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的定义，结合命题真假的判断即可得到答案.

【详解】易知C正确；

A选项是假命题；B选项是存在量词命题；D选项是存在量词命题.

故选：C.

6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果.

【详解】命题“”为真命题，可化为“”恒成立，

即只需，

所以命题“”为真命题的一个充要条件是，

而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，

由选项可知A符合题意.

故选:A.

7．定义集合运算：，设，，则集合的真子集个数为

A．8 B．7 C．16 D．15

【答案】B

【详解】由题意，，则有

四种结果，由集合中元素的互异性，则集合由3个元素，故集合的真子集个数为个，故选B

二、多选题

8．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．

【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，

A正确，B错，C正确，D正确，

故选：ACD．

【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．

9．设集合，则下列说法不正确的是（    ）

A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.

【详解】（1）当时，，；

（2）当时，，；

（3）当时，，；

（4）当时，，；

故A，B，C，不正确，D正确

故选：ABC

【点睛】本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

10．若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

【详解】由，可得或.

对于方程，当时，方程无解；

当时，解方程，可得.

由题意知，，则可得，

此时应有或，解得或.

综上可得，或.

故选：BC.

11．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B我们把集合叫作集合A和B的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（    ）

A．已知，则

B．已知，则

C．如果，那么

D．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则

【答案】BCD

【分析】根据题干中的新定义，表示集合A与B的交集在A中的补集，据此逐一判断各选项即可.

【详解】A选项，表示集合A与B的交集在B中的补集，所以，A不正确；

B选项，，，B正确；

C选项，，则，即，C正确；

D选项，，D正确.

故选：BCD.

12．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ）

A．集合为闭集合

B．正整数集是闭集合

C．集合为闭集合

D．若集合为闭集合，则为闭集合

【答案】ABD

【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．

【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；

选项C：当时，设，

则，所以集合M是闭集合，C选项正确；

选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．

故选：ABD．

三、填空题

13．满足的集合M有________个．

【答案】7

【分析】由，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，根据集合中元素的个数分类讨论，即可求解.

【详解】可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有三个元素：，，；

含有四个元素：，，；

含有五个元素：．

故满足题意的集合M共有7个．

故答案为：7.

14．已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .

【答案】

【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.

【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.

【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.

15．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为___________.

，，，，

【答案】

【分析】根据所给关系式可得到等式右侧部分的规律为：.

【详解】，，

，，根据所给四个式子可得到规律

，所以.

故答案为：.

16．已知命题，若为假命题，求实数的取值范围___________.

【答案】

【分析】先求得命题的否定，然后根据是真命题求得的取值范围.

【详解】依题意，命题是假命题，

所以是真命题，

当时，不等式化为，成立，

当时，不等式化为，不成立.

当时，不等式化为，成立，

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，.

(1)当时，求，；

(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．

（2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．

【详解】（1）解：当时，，，

，．

（2）解：是成立的充分不必要条件，

，

，，，

则，，

经检验知，当时，，不合题意，

实数的取值范围．

18．已知集合.

(1)若是空集，求的取值范围；

(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合；

(3)若中至多有一个元素，求的取值范围

【答案】(1)

(2)的值为或，当时，当时

(3)

【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；

（2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根；

（3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.

【详解】（1）A是空集，且，，解得，

的取值范围为：；

（2）当时，集合，

当时，，，解得，此时集合，

综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合；

（3）由可知，当中至多有一个元素时，或，

的取值范围为：.

19．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．

（1）A∩B＝；（2）A⊆（A∩B）．

【答案】（1）{a|a≤7}；（2）{a|a＜6或a＞}

【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a-5≤16，解不等式可得a的取值范围；

（2）由A⊆（A∩B）得A⊆B，分类讨论，A＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a的取值范围

【详解】（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．

此时2a＋1＞3a－5，

即a＜6．

若A≠∅，则解得6≤a≤7．

综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．

（2）因为A⊆（A∩B），且（A∩B）⊆A，

所以A∩B＝A，即A⊆B．

显然A＝∅满足条件，此时a＜6．

若A≠∅，则或

由解得a∈∅；由解得a＞．

综上，满足条件A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是{a|a＜6或a＞}．

【解析】1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用

20．已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围.

【答案】

【分析】根据命题的真假，转化为问题恒成立或有解问题，列出对应不等式组，可得答案.

【详解】由命题p是真命题，则，对恒成立，即对恒成立.

当时，，所以，即；

由命题q是假命题，则，使得为真命题，即关于x的方程有实数根：

①当时，有实数根；

②当时；依题意得，即且，

综上①②，可得.

因为p为真命题、q为假命题，所以实数m的取值范围是.

21．已知，设，成立；成立.如果假真时，求的取值范围.

【答案】

【分析】根据命题 为真时，得到的范围，进而根据假真，即可求解范围.

【详解】当命题为真时，即，成立，

即恒成立，，

又，

可得，

当命题为真时，即：成立，

由于函数在上单调递增，故

即，

当假真时，

所以.

22．已知集合，，.

（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）或.

【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值；

（2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围.

【详解】由题设，，

（1）由题设，，

当时，，则，即；

当时，，显然.

综上，或.

（2）由题设，，

当时，，即；

当时，，无解；

当时，，无解；

当时，，解得；

综上，的取值范围或.