2022-2023学年江苏省南京市第十三中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市第十三中学高一上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．设全集U＝R，，，则（　　）

A． B．{x|x≥1}

C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1}

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答.

【详解】，，

于是得或，所以.

故选：C

2．与角终边相同的角可以表示为（　　）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求出相近的终边相同的角，即可判断.

【详解】与角终边相同的角为，故与角终边相同的角可以表示为.

故选：A

3．下列函数中既是偶函数，又在上递增的为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数，以及函数的单调性即可判断正误.

【详解】对于A，是反比例函数，关于原点对称，不是偶函数，A选项错误；

对于B，设，有

则，所以是偶函数，

在上递增，B选项正确；

对于C，设，有，

则，所以是偶函数，

在上递减，C选项错误；

对于D，设，定义域为，为非奇非偶函数，D选项错误；

故选：B.

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数是偶函数可淘汰B，然后将代入函数可淘汰D，再算出函数的零点个数可淘汰A，即可求解

【详解】由可得，所以是偶函数，故淘汰B选项；

因为，故淘汰D选项，

令，解得，故只有两个零点，故淘汰A选项，

故选：C

5．已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为（　　）

A．（，4） B．[，4）

C．（，6） D．（，2）

【答案】C

【分析】由已知求得的定义域，再由解析式分母中根式内的代数式大于0，最后取交集即可.

【详解】由函数的定义域为，即，得，

所以定义域为，又，，取交集得的定义域为，．

故选：C．

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

7．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融､政务服务､供应链､版权和专利､能源､物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ）(参考数据，)

A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒

【答案】B

【解析】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则，两边同时取常用对数可得：，整理可得，再结合选项计算

即可求解.

【详解】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则，

两边同时取常用对数可得：，

即，

所以，

可得，

所以，

从选项考虑：，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：根据题意可得，计算出

，最关键的是由选项分析计算.

8．已知分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且（为自然对数的底数），若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由奇偶性可求得的函数表达式，化简不等式并参变分离，得，通过换元，利用函数单调性来求不等式右边的最小值，从而可以求得的取值范围.

【详解】由题意，，又分别为定义域为R的偶函数和奇函数，则，由解得，，，关于的不等式在上恒成立，等价于，令，，

令，令，，所以，则，则.故实数的取值范围是.

故选：C

【点睛】解不等式在给定区间的恒成立问题，通常转化为最值问题求解.

二、多选题

9．若“”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由已知条件，写出命题的否定，即为真命题，四个选项逐一判断即可.

【详解】由题意为真命题，为真命题，则应满足选项为集合的子集，且满足，AD选项均满足，B选项当时不符合，故错误，C选项不存在，故错误.

故选：AD

10．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ）

A．且 B．

C． D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.

【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，

又因为，所以；

A．，故正确；

B．因为，所以，故正确；

C．因为解集为，所以，故错误；

D．因为即为，即，解得，故正确；

故选：ABD.

11．下列说法正确的是（　　）

A．若，则的最大值是-1

B．若x∈R，则的最小值为2

C．已知a>0，b>0，且，则最小值是

D．已知x>y≥0，则的最小值为

【答案】AC

【分析】利用均值不等式计算判断A，C；利用函数的单调性推理判断B，变形结合不等式性质判断D作答.

【详解】对于A，，，

当且仅当，即时取等号，A正确；

对于B，令，而函数在上单调递增，即，则的最小值为，B不正确；

对于C，a>0，b>0，由得：，则，

当且仅当，即时取等号，因此最小值是，C正确；

对于D，x>y≥0，令，则，D不正确.

故选：AC

12．已知函数f（x）＝ln（＋x）＋x5＋3，函数g（x）满足g（－x）＋g（x）＝6．则（    ）

A．f（lg3）＋f（lg）＝6

B．函数g（x）的图象关于点（3，0）对称

C．若实数a，b满足f（a）＋f（b）>6，则a＋b>0

D．若函数f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＝6

【答案】AC

【分析】令，则为奇函数，且在上单调递增，又函数满足，则的图象关于点对称，进而利用奇偶性、单调性、对称性即可求解.

【详解】解：令，则为奇函数，且在上单调递增，

对A：因为，所以，所以选项A正确；

对B：因为函数满足，则的图象关于点对称，所以选项B错误；

对C：因为，所以，又函数为奇函数且在上单调递增，所以，即，所以选项C正确；

对D：若函数与图象的交点为，，,

因为为奇函数，所以函数图象关于点对称，所以函数图象关于点对称，又的图象关于点对称，所以函数f（x）与g（x）图象的交点关于点对称，所以，所以选项D错误；

故选：AC.

三、填空题

13．函数的递减区间为 _____．

【答案】

【分析】求复合函数的单调性，在定义域范围内用同增异减的法则即可写出.

【详解】由，则，解得或，所以函数的定义域为，设，，则为定义域内的增函数，而函数在上单调递减，所以函数的单调递减区间为.

故答案为：

14．写出同时满足条件“①函数为增函数，②”的一个函数_____．

【答案】(答案不唯一)

【分析】由指数函数及幂运算性质即可判断.

【详解】由题意，指数函数均满足①②.

故答案为：(答案不唯一)

15．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________．

【答案】##

【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.

【详解】由已知得，

则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为，

由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，

∴所求面积为．

故答案为：或．

16．设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】作出，的大致图象，由恒成立，利用数形结合可得到关于a的不等式，解不等式即可得解.

【详解】

作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示.

要使恒成立，必有，即，

又，所以.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数的大致图象，然后根据函数与的图象的关系，数形结合判段的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题.

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答.

（2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答.

【详解】（1）.

（2）

.

18．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）若是成立的_____条件，判断实数是否存在？

【答案】（1），，；（2）答案见解析.

【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合；

（2）选①，得集合是集合的真子集；选②，得集合是集合的真子集；选③，得集合等于集合；再求值．

【详解】解：（1）由得，故集合，

由得，故集合，．

（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，

则有，方程组无解．

所以，不存在满足条件的实数．

19．芦荟是一种经济价值很高的观赏､食用植物，不仅可美化居室､净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：

（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a·bt，Q=alogbt，并说明理由；

（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

【答案】（1）选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述，理由见解析；（2）150(天)，100(元/10kg).

【解析】（1）由所提供的数据和函数的单调性得出应选函数，再代入数据可得芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数.

（2）由二次函数的性质可以得出芦荟种植成本最低成本.

【详解】（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，

若用函数Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，

所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c，可得： ，解得.

所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数.

（2）当时，芦荟种植成本最低为 (元/10kg).

【点睛】本题考查求回归方程，以及回归方程的应用，属于中档题.

20．已知．

(1)若m＝0，求x+y的最小值；

(2)若，求xy的最小值．

【答案】(1)16

(2)64

【分析】（1）根据题意整理可得，根据基本不等式中“1”的灵活运用运算求解；（2）根据题意整理可得，结合不等式运算求解.

【详解】（1）若m＝0，则，即，

则，

当且仅当，即时等号成立，

故x+y的最小值为16.

（2）若，则，即，

∵，则，

又∵，当且仅当时等号成立，即，

整理得：，解得或（舍去），

故xy的最小值为64.

21．已知函数．

(1)若函数为偶函数，求a的值；

(2)若函数的最小值为8．求a的值．

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，直接求解即可；

（2）对参数进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果.

【详解】（1）由题可得对任意的恒成立，即，也即，

故对任意的恒成立，故.

（2）由题可得，

当时，没有最小值，故舍去；

当时，，不满足题意，故舍去；

当时，在单调递减，在单调递增，

故的最小值为，解得，不满足，故舍去；

当时，在单调递减，在单调递增，

故的最小值为，解得（舍）或.

综上所述，.

22．已知定义域为的函数满足对任意都有．

(1)求证：是奇函数；

(2)设，且当x＞1时，，求不等式的解．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据题意赋值结合奇函数定义证明；（2）根据题意整理可得，赋值结合单调性定义可证在上单调递减，并根据偶函数的定义证明是偶函数，根据奇偶性、单调性解不等式.

【详解】（1）令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

故是奇函数.

（2）∵，则，即，

则，即，

令，则，，

∴，即，

故在上单调递减，

又∵，则是偶函数，

∴，即，

则，解得或，

故不等式的解集为.