2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据16＝24，代入求解即可．

【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，

∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，

故选：C．

2．已知，集合，，则下列关系正确的是（　　）

A．  B．  C． D．

【答案】C

【分析】解不等式得，由集合的运算与关系对选项逐一判断，

【详解】由得，，，

对于A，，故A错误，

对于B，C，，故B错误，C正确，

对于D，，故D错误，

故选：C

3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B．

【详解】定义域为R，

，

则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；

又因为，则排除选项A，选B.

故选：B．

4．一个10位整数a的16次方根为整数b，则b＝（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）

A．2 B．3 C．4 D．7

【答案】C

【分析】a是一个10位整数，则，由题意得，利用根式与指数、对数的性质直接求解．

【详解】∵一个10位整数a的16次方根为整数b，

∴a是一个10位整数，∴，

由题意得，

∴，

∴，

由 ，，得：

，

∴ ，

∵b为整数，∴b＝4，

故选：C.

5．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（    ）

A． B．函数不是周期函数

C． D．函数在上不是单调函数

【答案】B

【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，

对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，

对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，

故选：B

6．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.

【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，

由可得，

∴，

解得.

故选：B.

7．已知，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的单调性可比较出的大小关系，再根据基本不等式以及对数函数的单调性可得的范围，即可解出．

【详解】因为，，所以，又，

，所以．

故选：C．

8．设，若是的最小值，则实数a的取值范围为是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用基本不等式求出当时，，而 是的最小值，所以有且，从而可求出实数a的取值范围

【详解】解：当时，，

当时，

，当且仅当，即时取等号，

因为是的最小值，

所以且，

所以且，

解得，

所以实数a的取值范围为，

故选：B

二、多选题

9．下列能成为x＞2充分条件的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据绝对值不等式，指数不等式，分式不等式的解法以及充分，必要条件的定义对各个选项逐个化简求解即可判断．

【详解】解不等式，可得或，所以充分性不成立，故A错误；

解不等式，可得，是充分条件，故B正确；

由不等式可得：或，不是充分条件，故C错误；

由不等式可得：，，是充分条件，故D正确.

故选：BD．

10．已知，则集合可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据集合间的包含关系判断即可．

【详解】解：因为，

所以对于A，若，满足题意；

对于B，若，，不满足题意；

对于C，若，满足题意；

对于D，若，则，不满足题意．

故选：AC．

11．已知函数，下列说法中正确的有（　　）

A．

B．，

C．为奇函数

D．在上有两个零点

【答案】BC

【分析】对于A，直接计算即可，对于B，由函数的单调性分析判断，对于C，利用奇函数的定义判断，对于D，由零点存在性定理结合函数的单调性判断.

【详解】因为，所以，则，无意义，A项错误；

因为和在上单调递增，所以在上单调递增，

所以在[1，2]内单调递增，所以恒成立，满足题意，B项正确；

定义域为∪，关于原点对称，又因为，

所以为奇函数，C项正确；

由选项B可知在上单调递增，且f（1）＝0，所以有且仅有一个零点，D项错误．

故选：BC．

12．下列结论正确的是（　　）

A．存在正数M，N，使得

B．存在实数x，使得

C．若实数x，y满足9x2+y2＝1，则xy的最大值为

D．若，则的最小值为15

【答案】ACD

【分析】由已知结合对数的运算性质检验选项A；结合基本不等式及应用条件检验选项BCD

【详解】A选项，时，，A选项正确.

由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，此时无解，B错误；

，当且仅当时等号成立，C正确.

若，则，

当且仅当时，取等号，此时的最小值为15，D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．设为实数，函数有两个零点的充要条件是 _____．

【答案】

【分析】由题意可知，方程有两个不等实数根，然后利用判别式大于0 即可求解．

【详解】由题意可知，方程有两个不等实数根，

所以，即，解得，

所以函数有两个零点的充要条件是，

故答案为：．

14．若x，y为正数，满足x+y＝2，则_____．

【答案】##0.25

【分析】利用基本不等式及对数的性质运算法则直接求解．

【详解】∵x，y为正数，满足x+y＝2，由基本不等式可得，

∴，

∴．

故答案为：．

四、双空题

15．函数的定义域为 _____，减区间为 _____．

【答案】         

【分析】解不等式即可得出的定义域为；根据复合函数的单调性，只需在定义域内求函数的减区间即可．

【详解】函数有意义，，即，解得，所以函数定义域为

令，则，函数在定义域内单调递增，求解的单调减区间，即求函数在定义域内的单调减区间，函数图像抛物线开口向下，对称轴为x＝3，所以在定义域范围内，可得单调减区间为 ，

所以的减区间为．

故答案为：；．

16．已知函数f（x）和g（x）分别由下表给出，则g（f（2））＝_____，不等式f（g（x））＞8的解集为 _____．

【答案】     2    

【分析】第一空直接计算函数值的即可，第二空根据表格即可求得解集.

【详解】结合已知表格中数据即可求解函数值及相应不等式解集．

解：由表中数据可得 ，

所以

当 时，则 ，

当 时， ，当 时，可得 ，当 可得 ；

由 可得解集为 ．

故答案为：；．

五、解答题

17．（1）求值：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）10；（2）7

【分析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解；

（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．

【详解】（1）．

（2），，故，

故，故的值为7．

18．已知集合，集合，其中a为实数.

（1）若，求集合；

（2）若且，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）或，

【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式求出集合、，再利用集合的补运算即可求解.

（2）分别求出集合、，由题意可得，再根据集合的包含关系即可求解.

【详解】（1）若，则，

，

所以.

（2）又因为，则，

当时，，

当时，，

若，则，

显然不成立，

当时，，解得或，

综上所述，实数a的取值范围为或，

19．已知函数，（其中），且．

(1)求实数a的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；

(2)若，求的值．

【答案】(1)，为定值，证明见解析

(2)3

【分析】（1）直接代入求解，再代入整理后即可求解结论，

（2）将（1）关系式代入化简求解即可．

【详解】（1）∵，

所以a＝2；

所以为定值

（2）由（1）得，

所以f（﹣x）＝1﹣f（x），

所以，

所以，

得f（x）＝0或，

当时，此时无解，舍去；

当时，解得x＝3．

综上所述x的值为3．

20．已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．

(1)求及，的值；

(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．

【答案】(1)，，；

(2)证明见解析，

【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；

（2）根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．

【详解】（1）因为，所以，，即．因为，所以，．

（2）设为上任意两个实数，且，则，，

，即，所以在上单调递增．

所以，所以．

21．要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b．

(1)若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．

(2)若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？

【答案】(1)当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小

(2)高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512

【分析】（1）设每一栏长x，宽为y，则有，所以，利用基本不等式求解即可；

（2）由题意可得，，，利用基本不等式求解即可．

【详解】（1）设每一栏长x，宽为y，由题意可得，故，

所以，

当且仅当时等号成立，

此时，

所以当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小；

（2）由题意可得，，

，

当且仅当，即时等号成立，

此时栏高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512．

22．已知函数，其中 k 为常数．若函数在区间 I 上，则称函数为 I 上的“局部奇函数”；若函数在区间 I 上满足，则称函数为 I 上的“局部偶函数”．

(1)若为上的“局部奇函数”，当时，解不等式；

(2)已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”， ，对于上任意实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用局部奇函数的定义可得即可求得k的值，然后利用指数函数，对数函数的性质即得；

（2）先利用局部奇函数和偶函数的定义求出分段函数的解析式，再由换元法结合单调性求出分段函数的最值，解不等式即可求解.

【详解】（1）若为上的“局部奇函数”，所以，

即整理可得：，

所以，解得，

所以，

由，可得，

所以，解得，

又因为，所以，

所以不等式的解集为；

（2）若为上的“局部奇函数”，由（1）知，，

若为区间上是“局部偶函数”，可得，

即，整理可得：，

所以，解得，

所以，

令，

当时，，在单调递增，

当时，，当时，，

所以当时，，

当时，此时为局部偶函数，

当时，，在单调递增，

此时，

所以，，，

对于上任意实数，不等式恒成立，

可得，即，

解得：，

所以实数m的取值范围是.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.