2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式，根据对数函数单调性解对数不等式即可.

【详解】由题知，，解得，故，

又因为，

所以，

即.

故选：B

2．“”是“函数的图像关于中心对称”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件必要条件的定义，结合三角函数的性质，作出判断.

【详解】当时，，此时的图像关于中心对称，

当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为0.

所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件.

故选：A.

3．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.

【详解】依题意，点到原点距离，

所以.

故选：A

4．设，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的性质即得.

【详解】∵，

∴，，，

∴.

故选：C.

5．已知函数满足，则解析式是（　　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用换元法，求函数的解析式.

【详解】设，故，则，

所以.

故选：A

6．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（    ）

（参考数据：，，）

A．1 B．20 C．600 D．6000

【答案】D

【分析】根据弧长公式可求得即的大小.在中，即可求得的大小.

【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为.

令，则.

∵，，.

∴，

又.

所以按每层楼高计算，需要登上6000层楼.

故选：D.

7．已知函数则函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.

【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，

则函数为偶函数，故排除选项B，C；

因为，

当时，恒成立，所以恒成立，

且当时，，

所以当时，，故选项A正确，选项D错误，

故选：A．

8．已知函数,且,则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将化简为,令新函数,判断的奇偶性和单调性,将不等式转化为关于的不等式,根据的函数性质转化为关于的不等式,解出即可.

【详解】解:由题意得,函数,

设,

则,

所以是上的奇函数,

因为,

由

则

即,

因为,

所以,

又有,

因为是上的增函数,

是上的增函数,

所以是上的增函数;

则有,整理得:,

解得:或,

所以的取值范围为.

故选:B

二、多选题

9．下列结论中，正确的是（    ）

A．函数的单调增区间是

B．命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题

C．是奇函数

D．函数的图像必过定点

【答案】AD

【分析】根据复合函数的单调性可判断A项；判断原命题真假即可判断B项；化简为偶函数，可说明C项错误；令得，代入可判断D项.

【详解】对于A项，函数中，，在上递增，在上递减；函数在R上单调递减.

根据复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是，故A项正确：

对于B项，2是素数，但2不是奇数，所以“所有的素数都是奇数”命题错误，否定为真，故B项错误；

对于C项，因为，是偶函数，故C项错误；

对于D项，函数中，由得，，即函数图象过点，故D项正确.

故选：AD.

10．下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用正余弦函数的单调性可得出每个选项中两个三角函数值的大小，即可选出答案.

【详解】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；

因为，且函数在上单调递减，则，

即，故选项B正确；

因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；

因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确.

故选：BD

11．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】先根据奇函数的性质求得，再根据函数图象的解析式与性质画出的图象，结合函数图象平移的性质得出的图象，再根据函数的周期，数形结合分析即可得出结果.

【详解】由题意，因为的图象关于直线对称，故，

又为奇函数，所以有， 所以，

故，所以，故的周期为8.

因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，，结合奇函数的性质与直线对称以及函数的周期性作图，且是的图象往左平移2个单位所得，作图如下.

又不等式成立，即在的函数图象下方，

由对称性得，当时，与的交点的横坐标为，结合图象可得与的交点的横坐标满足，所以在这个周期内，满足题意的解为，则所有符合题意的解为.

当时，解为；当时，解为；当时，解为；当时解为，

故选：CD.

【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性、对称性与周期性，结合函数图象平移的方法数形结合解决函数不等式的问题，难度较大.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递减

C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称

【答案】ABD

【分析】根据三角函数的周期性、单调性、最值、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由，

所以是周期为的周期函数，A正确：

由在上单调递减及复合函数的单调性知，在上单调递减，

由在上单调递增，可知在上单调递减，

所以函数在上单调递减，故B正确；

当时，，

故函数的最大值不是，故C错误；

，

关于直线对称，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】利用具体函数定义域的求法与对数函数的性质求解即可.

【详解】因为，

所以，解得，

所以的定义域为.

故答案为：.

14．函数的最大值为______.

【答案】

【分析】利用三角函数的基本关系式将化为关于的二次函数，从而利用配方法即可得解.

【详解】因为，

又，所以当时，.

故答案为：.

15．设和是方程的两根，则______.

【答案】

【分析】利用对数的运算法则直接计算即可.

【详解】因为和是方程的两根，

所以或者，

故答案为：

16．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】分段函数是增函数，等价于每一段都是增函数，且“后一段”解析式在分段处的函数值不小于“前一段”解析式在分段处的函数值，据此列不等式求解即可

【详解】因为当时，均为增函数，故只能为上的单调递增函数，在上为增函数，在上为减函数，故，根据分段函数是增函数可知，，解得，结合可知，.

故答案为：

四、解答题

17．已知角满足.

(1)求的值；

(2)若角是第三象限角，，求的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；

（2）利用诱导公式求解即可.

【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，

消去得，解得或，

当角是第一象限角时，，

因为角是第三象限角，.

（2）由题意可得，

因为角是第三象限角，

所以，所以.

18．已知函数的最小正周期为.

(1)求的值；

(2)求函数的单调递减区间：

(3)若，求的最值.

【答案】(1)

(2)

(3)最大值为3，最小值为

【分析】（1）由最小正周期，求得，得到，再求；

（2）整体代入法求函数的单调递减区间；

（3）由的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值.

【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，

所以，所以.

（2）令，解得，

故函数的单调递减区间是.

（3）因为，所以，

当，即时，的最大值为3，

当，即时，的最小值为.

19．已知函数.

(1)判断的奇偶性并证明；

(2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)在区间上单调递减，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数的定义进行判断证明即可；

（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可.

【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：

函数的定义域为，

对任意的，

所以是奇函数；

（2）在区间上的单调递减，理由如下：

对任意，且，

，

因为在单调递增，且，所以，

所以，

所以在区间上的单调递减.

20．已知函数，且不等式的解集为.

(1)求实数的值；

(2)解关于的不等式（其中为常数）；

(3)已知，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）由题意判断出是方程的两根，即可求解；

（2）对a分类讨论，分别写出不等式的解集；

（3）设的值域为的值域为，判断出，列不等式组，求出m的范围.

【详解】（1）因为，所以可化为，即，

因为不等式的解集为，即是方程的两根，

将代入，得，故，

再由韦达定理得，故.

（2）可化为，即，

当时，解得，

当时，不等式为，无解；

当时，解得；

综上所述，

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

（3）因为存在，存在，使得成立，

设的值域为的值域为，则，

由（1）得，对称轴为，

故在上单调递增，所以，

①当时，，不满足题意；

②当时，在上单调递增，所以，所以，解得：；

③当时，在上单调递减，所以，所以，解得：；

综上所述，.

【点睛】方法点睛：常见解不等式的类型：

(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；

(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；

(3)高次不等式用穿针引线法；

(4)含参数的不等式需要分类讨论．

21．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)设的最小值为，若正数满足，求的最小值；

(3)设，若，求所有满足条件的的取值集合.

【答案】(1)3

(2)

(3)或

【分析】（1）将化简为，求出的单调性，即可求出的最小值；

（2）由（1）可知，即，由均值不等式即可的最小值.

（3）由题可知，为偶函数，分类讨论或，，解方程和不等式即可得出答案.

【详解】（1）因为，所以

当时，单调递增，最小值为3，

当时，单调递减，最小值为3，

当时，，

综上所述，的最小值为3.

（2）由（1）可知，即，

因为均为正数，所以，

当且仅当即时取等号，

即的最小值为.

（3）由题可知，的定义域为，关于原点对称，

所以为偶函数，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，.

所以，

则在上单调递增，在上单调递减，

①，解得或，

②，解得或，

③，解得，

综上所述，或.

22．已知函数在时有最大值和最小值，设.

(1)求实数的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.

（2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.

（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.

【详解】（1）函数时不合题意，

所以为，所以在区间上是增函数，

故，解得.

（2）由已知可得，则，

所以不等式，

转化为在上恒成立，

设，则，即，在上恒成立，

即，

当时，取得最小值，最小值为，则，即.

所以的取值范围是.

（3）方程可化为：，，

令，则方程化为，，

∵方程有三个不同的实数解，

∴画出的图象如下图所示，

所以，，有两个根､，且或，.

记，

则，即，此时，

或得，此时无解，

综上.

【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.