2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（三）数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（三）数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据数轴，以及交集的定义，即可求解.

【详解】在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，由图可知，.

故选:B.

2．命题“∀x>0，3x+1>1”的否定为（    ）

A．∃x≤0，3x+1≤1 B．∃x>0，3x+1≤1

C．∀x>0，总有3x+1≤1 D．∀x≤0，总有3x+1<1

【答案】B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：因为命题“∀x>0，3x+1>1”是全称量词命题，

所以命题p的否定为存在量词命题，即∃x>0，3x+1≤1.

故选：B

3．已知的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用任意角三角函数的定义直接求解即可

【详解】因为的终边经过点，

所以，

故选：A

4．函数的最小值是（    ）

A．7 B．9 C．12 D．

【答案】C

【分析】已知函数，且，符合基本不等式的条件，根据基本不等式即可求和的最小值.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以，

故选：C.

5．已知，，，则的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．

【详解】，

，

，故，

所以．

故选A．

【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．

6．函数在区间（0,1）内的零点个数是

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】B

【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．

【解析】导函数，函数的零点．

7．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（    ）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数）

A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前

【答案】D

【分析】首先根据题意列式，再两边取对数后计算.

【详解】由题设可知，原始含量为1的14C经过x年后的残余量是y=0.999879x.

由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999879x，两边取常用对数，得xlg0.999879=lg0.879，

所以，故古莲子约是1066年前的产物.

故选：D.

8．若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据所解方程既是高次方程又是分式方程，所以对其进行是降次，同时注意到对任意的，必是原方程的一个根，所以只考虑时有三个实数解即可.

【详解】因为有四个实数解，显然，是方程的一个解，

下面只考虑时有三个实数解即可.

若，原方程等价于，显然，则.

要使该方程有解，必须，则，此时，方程有且必有一解；

所以当时必须有两解，当时，原方程等价于，

即(且)，要使该方程有两解，必须，所以.

所以实数k的取值范围为.

故选：C.

9．下列不等式中，正确的是（    ）

A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab

C．≥ D．x2＋≥2

【答案】D

【分析】举例说明ABC错误，利用基本不等式证明D成立.

【详解】a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；

a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，

a＝4，b＝16，则＜，故C错；

由基本不等式得x2＋≥2可知D项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查基本不等式应用及其使用条件，考查基本分析求解能力，属基础题.

二、多选题

10．下列函数中，在区间内单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】由函数单调性的性质可判断AC，由二次函数的性质可判断B，由指数函数的性质可判断D

【详解】对于A：因为在单调递减，

所以在内单调递减，故A错误．

对于B：的对称轴为，开口向上，

在上单调递减，在上单调递增，故B错误．

对于C：因为在单调递增，

所以在区间内单调递增，故C正确．

对于D：因为在定义域上单调递增，

所以在区间内单调递增，故D正确．

故选：CD．

11．已知函数，则（    ）

A．的最大值为

B．的图象关于点对称

C．图象的对称轴方程为

D．在上有4个零点

【答案】ACD

【分析】先通过降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式将函数化简，进而结合三角函数的图象和性质解得答案.

【详解】

，

则的最大值为，A正确；

易知图象的对称中心的纵坐标为，B错误；

令，得，

此即图象的对称轴方程，C正确；

由，得，

当时，，作出函数的图象，如图所示：

所以方程在上有4个不同的实根，

即在上有4个零点，D正确.

故选：ACD.

12．已知为R上的偶函数，且是奇函数，则（    ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．的周期为 D．的周期为

【答案】AD

【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此判断各选项.

【详解】∵  为偶函数

∴  图象关于轴对称，

又∵  是奇函数  ∴  

∴   ，

∴  

∴ 函数的图象关于轴对称，为周期函数且周期为，

故选AD.

三、填空题

13．已知，则______.

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】解：，

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题.

14．若，则的值是______.

【答案】2

【分析】由题得解方程再检验即得解.

【详解】由题得或x=2.

当x=1时，函数没有意义，所以舍去.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查对数函数的性质和无理方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．设；，若是的充分条件，求实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】命题的范围解出不等式，若是的充分条件，满足的范围是的范围的子集.

【详解】满足，，因为是的充分条件，所以，

所以，解得，所以实数的取值范围为.

故答案为：

16．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系 （ 为常数），若该果蔬在 的保鲜时间为216小时，在 的保鲜时间为8小时，那么在 时，该果蔬的保鲜时间为___________小时.

【答案】72

【分析】根据题意可求得，进而可求得，将代入中，即可求得答案.

【详解】由题意知当时， ；当 时， ，

则，整理可得，于是 ，

故当 时， ，

故答案为：72

四、解答题

17．设集合，，，．

(1)若，求实数a的值；

(2)若且，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先得到集合，根据得到，然后代值计算即可.

（2）依题可知，代值计算得到，然后进行检验即可.

【详解】（1）由题可得，，由，得．

从而2、3是方程的两个根，即

解得．

（2）因为且，所以，

即，，解得或．

当时，，则，故舍去；

当时，，则且，故符合题意．

综上所述，．

18．（1）计算：；

（2）计算：.

【答案】（1）0；（2）1.

【分析】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得结果；

（2）先运用立方和公式展开，后根据对数的运算性质化简可得结果.

【详解】（1）；

（2）

19．设m为实数，已知函数是奇函数.

(1)求m的值；

(2)证明：在区间(+∞)上单调递减：

(3)当时，求函数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)(1,+∞).

【分析】（1）利用奇函数的定义即得；或利用特殊值法；

（2）利用单调性的定义证明即得；

（3）利用指数函数的性质即得.

【详解】（1）解法1：由题意得，函数的定义域为，

又因为函数为奇函数，所以，

∴，即，

解得

解法2：取，则有，

∴，解得，

当时，，

而

所以在上为奇函数，

故

（2）由（1）知，对于任意，设，

则有.

由得，那么，

从而有，即，

故在区间(+∞)上单调递减.

（3）对于，有，得，

从而，

所以当，函数的取值范围为.

20．围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/，新墙的造价为180元/.设利用的旧墙长度为x（单位：），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）.

(1)用x表示y；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【答案】(1)

(2)当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元

【分析】（1）设矩形的另一边长为a，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；

（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值.

【详解】（1）设矩形的另一边长为a，

则,

由已知得，得.

（2），，

，

当且仅当即时，等号成立.

故当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

21．已知不等式的解集为或．

（1）求a，b；

（2）解不等式．

【答案】（1），；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出，的值；

（2）将，的值代入，并将不等式因式分解为，通过对与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．

由根与系数的关系，得 ，

解得；

（2）原不等式化为：

，即，

①当时，不等式的解集为，

②当时，不等式的解集为，

③当时，不等式的解集为．

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

22．函数的图象如图所示.

（1）求函数的解析式和单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最值并求出相应的值．

【答案】（1），增区间，（2）时，取最小值为-2；当时，取最大值为1.

【解析】（1）根据图像计算，得到，代入点计算得到解析式，再计算单调区间得到答案.

（2）通过平移得到，再计算得到最值.

【详解】（1）由图知：，∴，∴，∵，∴，∴，

∵由图知过，∴，

∴，∴，，∴，，

∵，∴，∴.

∵，，∴，，

∴增区间，.

（2），

∵，∴，

∴当，即时，取最小值为-2，

当，即时，取最大值为1.

【点睛】本题考查了三角函数的图像识别，三角函数的单调性，最值，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.