江苏省南京市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

南京市2021—2022学年度第一学期期末学情调研试卷

高一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1. 已知且，若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的定义求解即可

【详解】因为集合，且，

所以，

故选：C

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“”的否定是“”，

故选：C

3. 已知，若，则的大小关系为（    ）

A.

B

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关系.

【详解】当时，，

故，

故选：B.

4. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得结果.

【详解】设圆的半径为，则，，

由勾股定理可得，即，解得，

所以，，，所以，，故，

因此，.

故选：B.

5. 要得到函数的图象，需（    ）

A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

C. 将函数图象上所有点向左平移个单位．

D. 将函数图象上所有点向左平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.

【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；

将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到

的图象，故B 错误；

将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；

D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.

故选：D.

6. 已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】由利用韦达定理可得，代入所求不等式解不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以即，

不等式等价于，

解得.

故选：A.

7. 函数图象如图所示，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围

【详解】函数的定义域为，

由图可知，则，

由图可知，所以，

由，得，，

由图可知，得，所以，

综上，，，，

故选：D

8. 设函数，则不等式的解集是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数单调性结合特值去排除错误选项即可简单快捷地解决此题.

【详解】

则函数为上的奇函数.

又当时，单调递增，且

当时，单调递增，且

则为上单调递增函数，

又函数为上的奇函数，

则为上单调递增函数，且当时

当时，不等式可化为，不成立.

则选项BC错误；

当时，不等式

可化为，，即，

但是，则此不等式不成立，故不是不等式的解.

则选项D错误：只能选A.

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9. 已知，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】取特殊值可说明A错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C的对错；利用作差法可判断D的对错.

【详解】对于A，取 满足，但，故A错；

对于B，是定义域上的增函数，故时，有成立，故B正确；

对于C, ,故，故C正确；

对于D，，故，故D正确，

故选：BCD.

10. 已知函数，对于任意，则

A. 的图象经过坐标原点 B.

C. 单调递增 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和化简计算即可，对于C，利用单调的定义判断，对于D，令进行判断

【详解】对于A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A正确，

对于B，令，则，再令，则，所以B正确，

对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，

对于C，任取，且，由D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误，

故选：ABD

11. 已知函数，则（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象关于直线对称

C. 若，则函数的值域为

D. 函数的单调递减区间为

【答案】AD

【解析】

【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C；求解正弦型函数的递减区间判断选项D.

【详解】选项A：，则函数的图象关于点对称.判断正确；

选项B：，则函数的图象不关于直线对称. 判断错误；

选项C：由，可得，则，

即若，则函数的值域为.判断错误；

选项D：由，可得，

即函数的单调递减区间为.判断正确.

故选：AD

12. 已知是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（    ）

A.

B. 函数是周期函数

C. 不等式的解集是

D. 当关于的方程恰有二个不同的解时，

【答案】BC

【解析】

【分析】计算出的值，可判断A选项；利用周期性的定义可判断B选项；求出不等式在上的解，结合周期可判断C选项；数形结合可判断D选项.

详解】对于A，，A错；

对于B，由已知可得，故函数为周期函数，B对；

对于C，由奇函数的性质可得，则，，

当时，，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，则.

故当时，不等式的解为，

又因为函数的周期为，故不等式的解集是，C对；

对于D，作出函数与函数的部分图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D错.

故选：BC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13. 已知角的终边经过点，且．则的值为_________

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数定义即可求解．

【详解】由于角的终边经过点，所以，得

所以

故答案为：

14. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：)满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________．

【答案】37.5##

【解析】

【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出，再代入即可得出结论.

【详解】由题知，，，

所以，，可得，

再经过28分钟后，该物体的温度为

，

故答案为：37.5.

15. 设函数________．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是________．

【答案】    ①. ##-0.5    ②.

【解析】

【分析】由可得，从而可求出的值，先求出每段函数的值域，然后由有最小值，且无最大值，可得，从而可求得实数的取值范围

【详解】因为

所以，，

解得，

当时，，

当时，，

因为函数有最小值，且无最大值，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故答案为：，

16. 已知正实数、满足，则的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】分析可得，再利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为正实数、满足，即，

由基本不等式可得，

当且仅当时， 等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知集合．

（1）当时，求；

（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由．

问题：是否存在正实数，使得“”是“”的________？

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）先解不等式求出集合，再求出两集合的交集即可，

（2）若选择①，则从而可求出的范围，若选择②，则时，不成立，从而可得结果

【小问1详解】

由，得，解得，

所以，

当时，，

由，得，解得，

所以，

所以．

【小问2详解】

当时，，

选择①充分条件，则有，则解得，

在正实数，使得“是“”的充分条件，

的取值范围为．

选择②必要条件，则有，

时，不成立，

所以不存在正实数，使得“”是“”的必要条件．

18. 已知函数．

（1）求值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

分析】（1）先利用三角函数诱导公式化简解析式，再代入求值即可；

（2）以正余弦函数齐次化切法求值即可解决.

【小问1详解】

【小问2详解】

由，

可知．

19. 如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．

（1）设，将表示成函数；

（2）求梯形周长的最大值．

【答案】（1）   

（2）5

【解析】

【分析】小问1：过作交于，连接，则，分别求出各边长即可得周长；

小问2：由（1）设，则，结合二次函数性质即可求最大值．

【小问1详解】

由是直径，得，所以，

过作交于，连接，则，

所以，

所以．

【小问2详解】

设，则，对称轴，

所以当时，有最大值5．

20. 已知，且．

（1）若，求的值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）或2   

（2）

【解析】

【分析】（1）由对数的运算得，解方程可得答案；

（2）由得，解不等式得，根据可得答案.

【小问1详解】

由题意，，即，解得或2．

【小问2详解】

因为，所以，

所以，

因此，即，

解得或，

因为，所以，

故，

当时取等号，

所以的最小值为．

21. 已知函数．

（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是减函数；

（2）若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义按步骤证明即可；

（2）根据函数的单调性，求出其值域，再结合函数在区间上的值域为，可得到相应的方程组，然后将问题变为在上有两解的问题，采用换元法，利用一元二次方程在给定区间有解的条件解答即可.

【小问1详解】

f(x)，

任取，且，则，

则，

由题设知，

故，

所以，

所以在区间上是减函数．

【小问2详解】

由（1）知在区间上是减函数，

所以当时，在区间上单调递减，

所以函数在区间上的值域为，

所以

所以在上有两解，

所以在上有两解，

令，则关于的方程在上有两解，

即在上有2解，

所以，解得，

所以的取值范围为．

22. 已知函数．

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）设集合，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）按参数a分类讨论函数的奇偶性即可解决；

（2）把已知条件转化为成立，是本题关键入手点，接下来按x分类讨论去绝对值符号，保证新建函数最小值非负即可.

【小问1详解】

时，，

对，

所以是上的奇函数；

当a≠0时，f(1)＝3＋3a，f(＋f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，

所以既不是奇函数也不是偶函数．

【小问2详解】

因为，所以，

即(x＋1)3＋2(x＋1)＋3a|x＋1|≥＋2x＋3a|x|，

化简得，

因为，所以，

所以，

当时，，所以，

所以；

当时，，

即，

设，

，所以，

时，，

的对称轴方程为，

当时，即时，

在：上单调递增，

所以成立；

当，即时，成立，

所以恒成立；

当，即时，

在上单调递减，，

综上的取值范围为

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.