2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末学业质量调研数学试题（解析版）

高一学业质量调研考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（）．

A. R B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用并集的定义即可求得.

【详解】由，，

可得R

故选：A

2. “”是“”的（）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先化简，进而得到“”是“”的充分不必要条件.

【详解】由，可得且，

则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”，

则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 若幂函数的图象过点，则的值为（）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】设出幂函数的解析式，代入点求得解析式，进而求值即可．

【详解】设幂函数，

由题意得，解得，所以．

所以．

故选：C．

4. 下列命题中正确的是（）．

A. 第一象限角一定不是负角 B. 钝角一定是第二象限角

C. 小于的角一定是锐角 D. 第一象限角一定是锐角

【答案】B

【解析】

【分析】对于ACD，利用象限角、负角与锐角的定义，举反例排除即可；对于B，利用钝角与象限角的定义判断即可.

【详解】对于A，令，显然是第一象限角，同时也是负角，故A错误；

对于B，不妨设是钝角，则，所以一定是第二象限角，故B正确；

对于C，令，显然是小于的角，但不是锐角，故C错误；

对于D，令，显然是第一象限角，但不是锐角，故D错误.

故选：B.

5. 已知，，，则（）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性可分别求得的范围大小，即可比较得出结果.

【详解】由，可得；

由指数函数值域和单调性可知，即；

而，即，所以.

故选：D

6. 若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称命题为真命题可得，即可求得实数m的取值范围.

【详解】由“，”是真命题可知，

不等式恒成立，因此只需

易知函数在上的最小值为1，所以.

即实数m的取值范围是.

故选：B

7. 若，则下列不等式一定成立的是（）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到.

【详解】令，则为上增函数，

又

则，则

故选：B

8. 已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据零点定义和三角函数图象性质可知方程在上有4个不相等的实根，利用整体代换即可求得实数a的取值范围.

【详解】由题可知，若在区间上恰有4个零点，

等价于方程在上有4个不相等的实根，

又，所以时，，

由正弦函数图像性质可知需满足，解得.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列说法正确有（）．

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】AD可举出反例，BC可通过不等式基本性质得到求解.

【详解】A选项，当时，满足，故，故A错误；

B选项，若，故，不等式两边同乘以，得到，故B正确；

C选项，若，不等式两边同减去得：，C正确；

D选项，当时，满足，此时，D错误.

故选：BC

10. 对于定义在R上的函数，下列判断正确的是（）．

A. 若是偶函数，则

B. 若，则不是偶函数

C. 若，则函数是R上的增函数

D. 若，则函数在R上不是减函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用偶函数定义判断选项AB，举反例否定选项C；利用减函数定义判断选项D.

【详解】选项A：若是定义在R上的偶函数，则恒成立，

则有成立，判断正确；

选项B：定义在R上的函数，若，则不恒成立，

则不是偶函数，判断正确；

选项C：定义在R上的函数，满足，

但函数不是R上的增函数.判断错误；

选项D：定义在R上的函数，若，

则对任意时，不恒成立，

则函数在R上不是减函数. 判断正确.

故选：ABD

11. 关于函数，，下列命题正确的是（）．

A. 函数的图象关于点对称

B. 若，则

C. 函数的表达式可改写为

D. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用检验法将代入即可验证A正确；根据三角函数图像性质可得，即B错误；利用诱导公式可得，所以C正确；的图象向右平移个单位长度后可以得到为偶函数，即D正确.

【详解】对于A，将代入可得，，所以函数的图象关于点对称；

对于B，由可得，

即是函数的零点，所以相差半周期的整数倍，

即，所以B错误；

对于C，利用诱导公式可得，

所以函数的表达式可改写为，故C正确；

对于D，的图象向右平移个单位长度后可得

为偶函数，

即所得图象关于y轴对称，所以D正确；

故选：ACD

12. 已知，是定义在上的增函数，，若对任意，，使得成立，则称是在上的“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的是（）．

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】是在上的“追逐函数”，则在上的图像在的图像的上方，进而判断选项AB；举反例否定选项CD.

【详解】为上的增函数，，值域为

若对任意，，使得成立，

则值域为，在上的图像在的图像的上方，

选项A：在上的值域为，

，定义域上当x=1时等号成立，

则在上的图像在的图像的上方，符合要求，判断正确；

选项B：在上的值域为

，定义域上当x=1时等号成立，

则在上的图像在的图像的上方，符合要求，判断正确；

选项C：

但，即时，，

则不是在上的“追逐函数”．判断错误；

选项D：在上的值域为，

则时，不存在，使得成立，

则不是在上的“追逐函数”．判断错误.

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则的值为_____.

【答案】2

【解析】

【分析】将等式左边分子、分母同时除以即可得解.

【详解】解：由，

等式左边分子、分母同时除以得：

，解得：，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.

14. 设，，则______．（用a，b表示）

【答案】

【解析】

【分析】利用对数的运算即可求解.

【详解】，

故答案为：.

15. 写出一个同时满足下列条件的函数，如______．

①函数是奇函数；②函数的最小正周期是．

【答案】或（答案不唯一）

【解析】

【分析】由函数为奇函数，令，或，，由最小正周期求出，得到答案.

【详解】不妨令，，

故，解得，

故；

或令，，

故，解得，

故；

故答案：或.

16. 一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动3圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示建立平面直角坐标系，将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先设，再利用题给条件求得各参数值，进而求得函数的解析式.

【详解】设，

水轮每分钟逆时针转动3圈，则函数的最小正周期为20s，则，

由水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，可得，

又，则，又，则，

则

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集，集合，非空集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．

【答案】（1）或

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式解法可得集合，将代入得集合即可求得；

（2）由必要不充分条件的定义可知集合,之间的关系，即可求得a的取值范围．

小问1详解】

解集合对应的一元二次不等式可得，

所以，或

当时，，

或=或，

【小问2详解】

若“是“的必要不充分条件，

等价于非空集是集合的真子集，

即，解得（两端点不会同时取等号，所以等号符合题意）．

即a的取值范围为.

18. 已知函数．

（1）用“五点法”画出函数一个周期的简图；

（2）写出函数在区间上的单调递增区间．

【答案】（1）答案见解析

（2），

【解析】

【分析】（1）直接利用五点法列出表格，描点连线，在坐标系中画出图象即可；

（2）利用正弦函数的性质求解即可.

【小问1详解】

用“五点法”画出函数一个周期的简图，列表如下：

函数一个周期的简图，如图，

【小问2详解】

由，解得，

当时，得或，

所以函数在区间上的单调递增区间为，.

19. 已知定义在R上的偶函数在区间上单调递减．

（1）请利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上单调递增；

（2）若，求x的范围．

【答案】（1）证明见解析

（2）或．

【解析】

【分析】（1）相当于证明：任意，，；

（2）结合偶函数性质及单调性可得答案.

【小问1详解】

因为偶函数，则.

证明：任意，，则.

又，则，结合在区间上单调递减，

则，即，

故函数在区间上单调递增；

【小问2详解】

因为偶函数，则，

又在区间上单调递减，则，即或，

又函数在上单调递增，

则，.

故由，可得或．

20. 设a为实数，函数．

（1）若方程有实根，求a的取值范围；

（2）若不等式的解集为，求a的取值范围．

【答案】（1）或

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次函数与一元二次方程之间的关系，分类讨论a的取值并利用根的判别式即可求得a的取值范围；（2）由一元二次函数与一元二次不等式之间的对应关系，利用数形结合即可求得a的取值范围.

【小问1详解】

方程有实根，即有实根，

当，方程无实根，不符合题意；

当时，，则或，

综上，实数a的取值范围为或．

【小问2详解】

不等式的解集为，即不等式对于任意恒成立，

当时，恒成立，满足题意；

当时，要使不等式恒成立，则需满足，

即，解得.

综上，实数a的取值范围为．

21. 设m为实数，已知，且．

（1）当时，求满足不等式成立时的取值范围；

（2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入可得，利用三角函数单调性和值域即可求解不等式；

（2）利用换元法将不等式对任意恒成立转化成一元二次函数在某区间上恒成立问题，即可求得m的取值范围．

【小问1详解】

当时，，解得，

又，故．

小问2详解】

因为对任意恒成立，即恒成立；

设，在上恒成立．

①当时，在上单调递减，

则，即，故．

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，即，

又，所以恒成立，故．

③当时，在上单调递增，

则，即，故．

综上，m的取值范围为．

22. 设为实数，已知函数．

（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；

（2）若关于x的不等式在上有解，求的取值范围．

【答案】（1），解集

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用为奇函数求得，再将不等式转化为指数不等式即可求得其解集；

（2）先将题给条件转化为在上有解，再求得在上的值域，进而求得的取值范围．

【小问1详解】

函数定义域为R，

因为为奇函数，所以对恒成立，

即对恒成立，所以，

此时，即，

解得，所以原不等式解集为．

【小问2详解】

关于x不等式

可化为，化简得，

因为，即在上有解，

因为，设，则在上有解，

因为，

当且仅当，即时取等号，

所以的取值范围为．