2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（十）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（十）数学试题

一、单选题

1．若，，三点共线，则实数m的值为 （    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可得结果

【详解】因为，直线斜率存在，，，三点共线，则，

即，解得．

故选：D

2．《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（    ）

A．升 B．升 C．升 D．升

【答案】A

【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解．

【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，

设其首项为，公差为，

由题意可得，

所以，解得，

所以，

即第5节竹子的容积为升．

故选：A．

3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线C的标准方程是（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】B

【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，分类讨论求得抛物线的标准方程．

【详解】直线交轴于点，与轴交于点，

① 当焦点为时，设方程为，得，，抛物线方程为．

② 当焦点为时，设方程为，得，，抛物线方程为．

综上，抛物线方程为或．

故选：B．

4．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据相切的垂直关系和两点间距离公式结合勾股定理即可求解.

【详解】的圆心为，

设切点为A，半径，如图所示，

由切线性质知，，

则切线长．

故选: C．

5．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设所求双曲线方程为，将点代入求解即可.

【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为，

∵所求双曲线过点，

∴代入，

得，即，

∴与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是，

即.

故选：A.

6．设，若函数，有大于零的极值点，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点．

即有正根，当有成立时，显然有，

此时．由，得参数a的范围为．故选B．

【解析】利用导数研究函数的极值．

7．设为等比数列的前n项和，若，，则（    ）

A． B．2 C．9 D．

【答案】C

【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.

【详解】设等比数列的公比为，

则，解得，

则，，

所以.

故选：C.

8．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可

【详解】因为，则，所以，故，故，解得

故选：B.

二、多选题

9．已知圆：，直线：．圆上恰有个点到直线的距离为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由圆上恰有个点到直线的距离为可确定圆心到直线距离为，由此构造方程求得结果.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

圆上恰有个点到直线的距离为，圆心到直线的距离，

即，解得：或.

故选：BC.

10．设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可

【详解】因为，，

所以，

数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，

所以故A错误，BC正确；

设数列中的第项是数列中的第项，

则，

所以当时，，故，所以D正确，

故选：BCD

11．已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（   ）

A．

B．椭圆的长轴长为

C．椭圆的短轴长为1

D．椭圆的离心率为

【答案】AB

【分析】由题意，，结合，可得，根据椭圆的性质依次验证，即得解

【详解】由题意，

，即

或

当时，不成立

故，A正确；

此时

故长轴长，B正确；

短轴长，C错误；

离心率，D错误

故选：AB

12．下列结论判断正确的是（    ）

A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线

B．方程（，，）表示的曲线是椭圆

C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线

D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则

【答案】BD

【分析】对于A，由抛物线定义判断即可；

对于B，将方程化为椭圆的标准方程判断即可；

对于C，由双曲线定义判断即可；

对于D，分别求出两个双曲线的离心率，再代入通过计算判断即可.

【详解】对于A，由抛物线定义，直线不经过点（当时，与定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误；

对于B，方程（，，）可化为，且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程，故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项B正确；

对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点，距离之差等于（）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C错误；

对于D，双曲线（，）的离心率，双曲线（，）的离心率，故，故选项D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是________．

【答案】或

【分析】根据题意设直线的方程为，分别令、可得直线与轴的交点，求出三角形的面积等于可得答案.

【详解】根据题意，直线与直线平行，则设直线的方程为，

对于，令可得，即直线与轴的交点为，

令可得，即直线与轴的交点为，

故直线与坐标轴围成的三角形的面积，解得：，

故直线的方程为或．

故答案为：或．

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是________．

【答案】25

【分析】设，，求出双曲线的焦点坐标，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解.

【详解】设，，双曲线的左焦点为，

则直线的方程为，由得，，

，，则．

故答案为：25.

15．在等比数列中，，，则的值是________．

【答案】50

【分析】根据等比数列前项和的性质即可求解.

【详解】设，，

所以，

所以，

所以.

故答案为:50.

16．出版社出版某一读物，1页上所印文字占去，如图，上、下边要留1.5cm空白，左、右两侧要留1cm空白，出版商为降低成本，应选用纸张的周长为________ ．

【答案】60

【分析】设文字的区域长为，则宽为，由条件可得纸张的面积为，利用均值不等式即得.

【详解】设文字的区域长为，则宽为．

则纸张的长为 ，宽为．

则纸张的面积为

当且仅当，即时等号成立．

此时的纸张的长为12，宽为18．

所以应选择的纸张满足长为12 ，宽为18，

所以应选用纸张的周长为60cm．

故答案为：60.

四、解答题

17．设等差数列的前n项和为，且满足

(1)求的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出等差数列的公差，根据给定条件列出方程组，求解方程组作答.

（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式求解作答.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，因，

于是得，解得，则，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，数列为等比数列，首项为2，公比为4，

所以数列的前n项和.

18．已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；

（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.

试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，

则原点到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.

依题意，圆心是线段的中点，且.

易知，不与轴垂直.

设其直线方程为，代入（1）得

.

设，则，.

由，得，解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆的方程为.

19．已知数列满足，设.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论，

（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小

【详解】（1）证明：因为，所以，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）可得，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以

20．已知函数，其中a为常数．

(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；

(2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义计算作答.

（2）由（1）的结论，利用导数探讨函数在上的单调性，求出最小值作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得，

所以a的值是1.

（2）由（1）得，，由得或，

因，则当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上的最小值.

21．已知抛物线C；过点．

求抛物线C的方程；

过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．

【答案】（1）．（2）见解析．

【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；

（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．

【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．

（2）设，，直线MN的方程为，

代入抛物线方程得．

所以，，．

所以,

所以，是定值．

【点睛】求定值问题常见的方法

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．已知函数在处的切线与轴平行．

（1）求的值和函数的单调区间；

（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．

【答案】（1）-9，单调增区间为和；单调减区间为；（2）.

【分析】（1）根据即可求得的值，利用导函数求解单调区间；

（2）令，转化为有三个不同的零点.

【详解】（1）由已知得，

∵在处的切线与轴平行

∴，解得．

这时

由，解得或；

由，解．

∴的单调增区间为和；单调减区间为．

（2）令，

则原题意等价于图象与轴有三个交点．

∵，

∴由，解得或；

由，解得．

∴在时取得极大值；在时取得极小值．

依题意得，解得．

故的取值范围为．