2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（四）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（四）数学试题

一、单选题

1．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出二元一次方程组的解即可作答.

【详解】解方程组得，，

所以.

故选：A

2．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的真假，只需即可求解.

【详解】命题“”是真命题，

则，

又因为，

所以，即实数的取值范围是.

故选：B

3．已知角的终边经过点，且，则x的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义列式求解即可.

【详解】由三角函数定义可得，即，解得.

故选：B.

4．设，，且，求的最小值是（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】由基本不等式即可求出最小值.

【详解】因为，，且，

所以，，

，当且仅当，即时取等号，

故选：A.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】解：因为，，，

又因为在R上是增函数，所以，

所以.

故选：B.

6．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】参变分离，换元后得到（），要想方程有实数解只需与有交点，根据单调性求出，从而得到，求出a的取值范围.

【详解】因为，所以，

令（），则（），

要想方程有实数解只需与有交点即可；

设，当时，单调递增，所以，

即时，解得：，

故a的取值范围是为：.

故选：C.

7．假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（    ）（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】根据指对互化以及对数的运算性质即可求解.

【详解】设经过x年国民经济生产总值是现在的两倍，现在的国民经济生产总值是a.

根据题意，得 ，即 ，则≈≈10.

所以约经过10年国民经济生产总值是现在的两倍．

故选：D．

8．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（    ），（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.

【详解】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，

所以，所以，可得，，

故选：C.

9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【答案】B

【解析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A中，有，错误；

B中，时，成立，正确；

C中，时，，错误；

D中，由题设，当时，，错误；

故选：B

二、多选题

10．已知函数在区间上单调递增，则的取值可以是（    ）

A．， B．

C．， D．，

【答案】AD

【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得 ，再结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得，分析可得的关系，据此分析选项可得答案.

【详解】根据题意,

其定义域为，

若函数 上单调递增，必有  

即且，

据此分析选项AD符合．

故选：AD

11．(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，其中正确的是（    ）

A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数

B．存在φ，使f(x)是偶函数

C．存在φ，使f(x)是奇函数

D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数

【答案】BC

【分析】对于A，举反例判断；对于B，C举例判断；对于D，由B的判断可得结论

【详解】解：因为φ=0时，f(x)=sinx是奇函数；φ=时，f(x)=cosx是偶函数，

所以B，C正确，A，D错误，

故选：BC.

12．下列命题为真命题的是（    ）

A．函数的图象关于点，k∈Z对称

B．函数是最小正周期为π的周期函数

C．设θ为第二象限角，则，且

D．函数的最小值为－1

【答案】AD

【分析】根据正切函数的性质可知函数的图象得对称中心判断A；

由函数的图象判断B；

由，则，，分为偶数，为奇数两种情况检验C；

由，，，结合二次函数的性质可判断D；

【详解】解：根据正切函数的性质可知函数的图象关于点对称，故A正确；

函数的图象如下所示；

故B错误；

设是第二象限角即，则，

当为偶数，，成立，

当为奇数时，，，故C错误；

函数，，，则当时，函数有最小值，故D正确；

故选：AD

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的判断，解题的关键是要熟练掌握三角函数的性质并能灵活应用，其中B中的函数的周期的判断的方法是根据函数的图象，而不要利用周期定义，属于中档题．

三、填空题

13．若角的终边上一点，则_________．

【答案】

【分析】由题意可得，，．利用已知条件，得到，利用任意角的三角函数的定义得到．

【详解】解：由题意可得，，，

因为，

所以，

故答案为：．

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，注意，不是，此处是个易错点．

14．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】分段函数要满足在上单调递减，要在每一段上单调递减，且分段处左边函数的端点值大于等于右边函数的端点值.

【详解】因为在上是严格减函数，所以要满足：，解得：，所以实数的取值范围是

故答案为：

15．不等式的解集为，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】根据一元二次函数的图象与性质，分和，两种情况讨论，即可求解.

【详解】由题意，不等式的解集为，

当时，不等式可化为，此时不等式的解集为，符合题意；

当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

四、双空题

16．年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

【答案】         

【分析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；

（2）令，解方程求得即可.

【详解】当时，    经过年后，碳的质量变为原来的

令，则    

    良渚古城存在的时期距今约在年到年之间

故答案为；

【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.

五、解答题

17．在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．

已知集合．

(1)若，求；

(2)若________，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果.

（2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果.

【详解】（1），

当时，，所以或

所以或

（2）由(1)知，

若选①：由，得

当，即时，，符合题意；

当时，，解得.

综上所述，实数的取值范围是

若选②：当时，，即；

当时，或

解得或不存在.

综上所述，实数的取值范围是

18．已知函数.

（1）化简；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案.

（2）根据（1）化简可得，所求整理为，即可求得的值，根据的范围，可得，即可求得答案.

【详解】（1）由诱导公式化简可得

（2）由，可得，

所以，即，

又，

所以

因为，，

所以，

所以的值为

19．已知a∈R，函数的图象经过点．

(1)求实数a的值；

(2)判断的奇偶性并证明；

(3)判断在区间上的单调性并证明．

【答案】(1)2；

(2)奇函数，证明见解析；

(3)减函数，证明见解析.

【分析】（1）把给定点的坐标代入函数解析式求出a值作答.

（2）利用奇函数定义推理判断作答.

（3）利用函数式判断单调性，再利用函数单调性定义推理作答.

【详解】（1）因函数的图象经过点，则，解得，

所以实数a的值2.

（2）由（1）知，，函数定义域为，是奇函数，

，

所以函数是奇函数.

（3）函数在上是减函数，

，

，因，则，，

因此，即，

所以函数在上是减函数.

20．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．

(1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；

(2)当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．

【答案】(1)，，

(2)当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元

【分析】(1)根据题意得，代入化简即可；

(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.

【详解】（1）由题意得

，

即，，.

（2）由，得，

因，当且仅当时取等号，所以.

故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.

21．已知关于x的不等式．

(1)当时，解上述不等式；

(2)，解上述关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由得到不等式，再利用一元二次不等式的解法求解；

（2）利用一元二次不等式的解法，分，，，，，讨论求解.

【详解】（1）解：当时，不等式为 ，

解得，

所以原不等式解集为： ；

（2）不等式，

当时，不等式为，

解得或，

当时，不等式为，解得，

当时，不等式为，

解得，

当时，不等式为，无解；

当时，不等式为，

解得，

综上：当时，不等式的解集为：或；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式无解；

当时，不等式的解集为：.

22．已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；

（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．

【详解】（1）由题意可知，，即，

所以，，

将的图象向右平移个单位得，

因为的图象关于轴对称，

所以，，

所以，，

因为，所以，

所以；

（2），

所以，

，

，

所以．