2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（九）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（九）数学试题

一、单选题

1．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m的范围

【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或．

故选：D．

2．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（    ）

A．14 B．13 C．或14 D．或13

【答案】C

【分析】通过等差数列的性质，列方程组求解数列中的项，再求和.

【详解】设这四个数分别为，

由题意得，

即，解得或或或，

当时，等差数列为-1，2，5，8；当时，等差数列为8，5，2，-1；等差数列的和是14；

当时，等差数列为-8，-5，-2，1；当时，等差数列为1，-2，-5，-8，等差数列的和是．

故选：C．

3．已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义求解即可.

【详解】对于抛物线  ，准线方程为 ，

设点，根据抛物线得定义得：

点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为，所以，

则，，所以点P的坐标为或；

故选：C．

4．设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ）

A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据直线与圆的位置关系，求得满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.

【详解】根据题意，即，故点在圆外.

故选：B.

5．设双曲线的方程为，过点，的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率是   （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由斜率公式得出，再由以及离心率公式求解即可.

【详解】由题意得，即，又，

所以，又，故．

故选：A．

6．函数在[0，π]上的平均变化率为

A．1 B．2 C．π D．

【答案】C

【解析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.

【详解】平均变化率为.

故选：C

【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.

7．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出答案.

【详解】解：由题意可知，每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，

所以前四日所取木棒的总长度为.

故选：C.

8．已知函数在上单调递增，则a的最大值是（    ）

A．1 B．2 C．e D．3

【答案】C

【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答.

【详解】函数，求导得：，因在上单调递增，

则对任意的，成立，设，则，

由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增，

即，因此，

所以a的最大值是.

故选：C

二、多选题

9．已知圆，则下列说法正确的是（       ）

A．直线与圆相切

B．圆截y轴所得的弦长为

C．点在圆外

D．圆上的点到直线的最小距离为

【答案】AC

【分析】由直线与圆的位置关系可以判断AB，由点与圆的位置关系可以判断C，由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离的公式可判断D

【详解】因为，

所以，

则圆心，半径，

对于A：因为圆心到直线的距离为，故A正确；

对于B：圆截y轴所得的弦长为，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：因为圆心到直线的距离为，

则圆上点到直线的最小距离为，故D错误.

故选：AC.

10．设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．或为的最大值

【答案】ABD

【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.

【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；

对于C，因为，，所以，所以，故C不正确；

对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D正确．

故选：ABD．

11．下列有关双曲线的命题中，叙述正确的是（    ）

A．顶点 B．离心率

C．渐近线方程 D．焦点

【答案】CD

【分析】把双曲线化为，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.

【详解】由题意，双曲线，可化为，可得，

所以，且，

所以双曲线的顶点坐标为，所以A不正确；

双曲线的离心率为，所以B不正确；

双曲线的渐近线方程为，所以C正确；

双曲线的焦点坐标为，所以D正确.

故选：CD.

12．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）

A．当时，直线l与直线垂直

B．若直线l与直线平行，则

C．直线l过定点

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；

对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；

对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；

对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.

【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；

对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；

对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；

对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是________．

【答案】

【分析】首先根据线段的中点在直线上，可设，利用到与的距离相等求得的值，进而求出点的坐标，然后根据两点式求解直线方程即可.

【详解】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,

故，解得,则点．

直线的方程为,即．

故答案为：

14．已知双曲线的焦点、，点在双曲线上，且，则的面积为__________．

【答案】

【详解】由双曲线的标准方程可得：，设，

由双曲线的定义有：，

由余弦定理有：，

可得：，

则的面积为.

点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．

(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．

15．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为________．

【答案】

【分析】由题意结合等比数列的求和公式求解即可.

【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；

故答案为：

16．直线是曲线的一条切线，则实数___________．

【答案】

【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以．

四、解答题

17．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式；

（2）写出，由分组求和法求和．

【详解】（1）设的公比为（），

因为，且，，成等差数列，

所以，即，解得，

所以；

（2）由（1），

．

18．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（，0），直线l：x＝，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若直线m：x－y－1＝0与曲线C交于A，B两点，求|AB|.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设P的坐标，由题意可得P的横纵坐标的关系，进而求出P的轨迹方程.

（2）联立直线与曲线方程，写出韦达定理，利用弦长公式计算即可

可求弦|AB|的长.

【详解】（1）设P（x，y），由题意可得，

整理可得：；

所以P的轨迹C的方程为：.

（2）设直线m：x－y－1＝0与曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消去y得x2+2（x－1）2＝6，整理得3x2－4x－4＝0，

由

所以x1+x2＝，x1x2＝，，

所以.

19．已知数列中，，当时，其前项满足

（1）证明：是等差数列，求的表达式；

（2）设，求的前项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；根据等差数列通项公式求得，进而得到；（2）由（1）得到，采用裂项相消法求得结果.

【详解】（1）当时，

，即：

，又

数列是以为首项，为公差的等差数列    

（2）由（1）知：

【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.

20．已知函数，且.

(1)求a的值；

(2)求与x轴平行的的图象的切线方程.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）求导函数，再由建立方程，求解即可；

（2）由（1）得，设与x轴平行的的图象的切线的切点为，由已知建立方程求得，由此可求得答案.

【详解】（1）解：因为，则，

又，所以，解得；

（2）解：由（1）得，则，

设与x轴平行的的图象的切线的切点为，

则，解得，所以，

所以与x轴平行的的图象的切线方程为.

21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线：，点，过点的直线l与抛物线交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若点A在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值．

【答案】(1).

(2)8.

【分析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.

（2）设直线AB为，代入联立得关于的一元二次方程，运用韦达定理，得到关于的函数关系，再求函数最值.

【详解】（1）当l与抛物线的对称轴垂直时，，，

则代入抛物线方程得，

所以抛物线方程是．

（2）设点，，直线AB方程为，

联立抛物线整理得：，

，

∴，，

有，由A在第一象限，则，即，

∴，可得

，

又O到AB的距离，

∴，而，

∴，

，

当， ，单调递减；

，，单调递增；

∴的最小值为,此时，.

22．设m为实数，函数

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值．

【答案】(1)时，单调递增区间为，无单调递减区间；

时，单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）利用导数，求解函数的单调区间.

（2）设切点，利用导数求切线方程，得到，再构造新函数，利用导数求单调性得最小值.

【详解】（1）函数定义域为，，

当时，在上恒成立，

当时，解得，解得.

故时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）当时，，设切点为，

则切线斜率，切线方程为，

即，

，，，

令，，

令，可得，令，得，

可得在上单调递减，在上单调递增，

，即的最小值为