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    2021-2022学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)

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    这是一份2021-2022学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题(解析版),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题

     

    一、单选题

    1.集合,则    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】利用并集的定义求解即可.

    【详解】因为集合

    .

    故选:D.

    2.已知,则的(    

    A.充要条件 B.充分不必要条件

    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】C

    【分析】可举例说明不成立;分类讨论去绝对值证明时有成立.

    【详解】,满足,但,故不能推出

    时,

    时,时,

    能推出

    的必要不充分条件.

    故选:C.

    3.设命题,则命题的否定是(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】利用含有量词的命题的否定方法:先改变量词,然后再否定结论,求解即可.

    【详解】由含有量词的命题的否定方法:先改变量词,然后再否定结论,

    命题

    则命题的否定是:.

    故选:B.

    4.已知,定义在同一区间上,是增函数,是减函数,且,则

    A为减函数 B为增函数

    C是减函数 D是增函数

    【答案】B

    【详解】试题分析:由题意得,设,因为是增函数,所以,因为是减函数,所以,所以,所以函数为增函数,故选B.

    【解析】函数单调性的判定.

    5.已知,且,则    

    A B C D10

    【答案】C

    【分析】由函数的奇偶性的定义判断为奇函数,再由奇函数求值即可.

    【详解】的定义域为

    所以为奇函数,

    .

    故选:C.

    6.若实数ab满足,则下列式子正确的是(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据不等式的性质以及幂函数的单调性分别进行判断即可.

    【详解】A,因为,所以. 因为幂函数上为增函数,所以A错;

    B,因为幂函数上为增函数,所以成立,B对;

    C,因为,且幂函数上为增函数,所以C错;

    D,因为幂函数上为增函数,所以D错;

    故选:B.

    7.定义在上的奇函数满足,当时,,当时,. 不等式的解集为(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】由奇函数的定义可得,且时,时,,再分别讨论,解不等式可得所求解集.

    【详解】定义在上的奇函数满足,可得

    时,,当时,,可得时,时,

    等价为,解得,即所求解集为.

    故选:C.

    8恒成立,则的最小值为(    

    A1 B2 C D

    【答案】B

    【分析】根据题意,将原不等式变形可得,结合基本不等式的性质可得成立,进而可得,解可得的取值范围,即可得答案.

    【详解】根据题意,恒成立,必有

    变形可得

    又由,当且仅当时等号成立,

    恒成立,必有

    又由,则,必有

    解可得

    ,则,即的最小值为2

    故选:B.

     

    二、多选题

    9.下列四组函数,其中表示同一函数的是(    

    A B

    C D

    【答案】BC

    【分析】分别求得各个选项函数的定义域和对应法则,由只有定义域和对应法则完全一样,才是同一函数,可得结论.

    【详解】对于A,它们的定义域不同,故不为同一函数;

    对于B,它们的定义域相同,对应法则一样,故为同一函数;

    对于C,它们的定义域相同,对应法则一样,故为同一函数;

    对于D,它们的定义域相同,对应法则不一样,故不为同一函数.

    故选:BC.

    10.设,下列结论正确的是(    

    A B

    C的真子集 D

    【答案】CD

    【分析】配方,求其值域,即可判断得出结果.

    【详解】因为

    即集合比集合多一个元素1,因此.

    故选:CD.

    11的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数,下列结论正确的(    

    A.函数没有对称中心

    B.函数的对称中心为

    C.函数的对称中心的横坐标为

    D.定义在的函数的图象关于点成中心对称.时,,则的值域为

    【答案】BD

    【分析】由条件的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数,结合对称中心的定义判断ABC选项,利用为奇函数求出值域,从而可求得的值域,判断D选项.

    【详解】由于的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数,

    对于A,因为

    所以,满足,是奇函数,

    关于点对称,故A错误;

    对于B,因为,定义域为,满足,是奇函数,

    所以点的对称中心,故B正确;

    对于C,设的对称中心为

    ,则,即

    所以恒成立,即

    所以,故函数的对称中心的横坐标为,故C错误;

    对于D,因为定义在的函数的图象关于点成中心对称.

    所以可得为奇函数,

    ,即是奇函数,

    时,

    所以

    时,,所以

    所以时,,故D正确;

    故选:BD.

    12.设分别为ab两边上的高,的面积记为S.时,下列不等式正确的是(    )

    A B

    C D

    【答案】ABC

    【分析】由题可得.作差法可判断A;用基本不等式可判断B;分别化简不等式左边和右边可判断C;假设法可判断D.

    【详解】如图,

    易知.

    A(当时取等号),,故A正确;

    B(当时取等号),故B正确;

    C

    (当时取等号),,故C正确;

    D:假设成立,

    时上式不成立,故D错误.

    故选:ABC.

     

    三、填空题

    13.函数的定义域为___________.

    【答案】

    【分析】保证被开方式大于等于零即可

    【详解】解:若使得函数有意义,

    只需,解得

    所以函数的定义域为

    故答案为:.

    14.函数的单调增区间为___________.

    【答案】

    【分析】将解析式化为分段函数的形式,作出函数图象可得单调增区间.

    【详解】,作出函数的图象,

    由图可知的单调增区间为.

    故答案为:.

    15.已知0,则的最小值为________

    【答案】18

    【分析】把式子x+y变形为x+y=x+y)(),再利用基本不等式求出它的最小值.

    【详解】已知0,则x+y=x+y)(=10+≥10+2=18当且仅当x=6y=12时,等号成立.故x+y的最小值为18

    【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子进行的变形是解题的关键.

    16.已知,令,则的最小值是___________.

    【答案】

    【分析】先通过比较求出函数的解析式,再各段求出最小值即可.

    【详解】解:令,解得

    时,

    时,函数没有最小值但大于

    综上:函数的最小值为.

    故答案为:.

     

    四、解答题

    17.集合..

    【答案】答案见解析.

    【分析】根据集合的基本运算即可求解.

    【详解】

    18.已知定义在上的函数

    (1)求证:为偶函数;

    (2)用定义法证明上单调递增.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)由偶函数定义证明是偶函数.

    2)根据函数单调性的定义进行证明即可.

    【详解】(1)由题知,因为

    所以,故为偶函数;

    (2)时,

    任取,且

    ,因为,所以,所以,所以,即,所以上单调递增.

    19.已知二次函数

    (1)若不等式的解集为,求ab的值.

    (2)时,方程有一个根小于1,一个根大于1,求实数a的取值范围.

    【答案】(1)ab的值分别为

    (2)

     

    【分析】1)根据题意可得12是方程的两个实数根,列方程,从而即可求出ab的值;

    2)根据函数图象列不等式,进一步即可求出a的取值范围.

    【详解】(1)根据题意,12是方程的两个实数根,

    ,解得

    ab的值分别为

    (2)时,,图象开口向下,

    有一个根小于1,一个根大于1

    ,整理得,解得

    所以实数的取值范围是.

    20.某工厂生产某种零件的固定成本为20000元,每生产一个零件要增加投入100元,已知总收入Q(单位:元)关于产量x(单位:个)满足函数:.

    (1)将利润P(单位:元)表示为产量x的函数;(总收入总成本利润)

    (2)当产量为何值时,零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?(单位利润利润产量)

    【答案】(1)

    (2)当产量为20个,零件的单位利润最大,最大单位利润是100

     

    【分析】1)根据已知条件,结合利润公式,即可直接求得.

    2)设零件的单位利润为,得到的解析式,再结合基本不等式的公式,即可求解.

    【详解】(1)时,

    时,

    .

    (2)设零件的单位利润为

    时,

    当且仅当,即时,等号成立,

    时,

    故当产量为20个,零件的单位利润最大,最大单位利润是100.

    21为四个互不相等的实数.ABCDC最大,求实数a的取值范围,并求出ABCD中最小的数.

    【答案】ABCD中最小的数为D

    【分析】先由ABCDC最大可得,从而解出a的范围,再检验四个数互不相等并得出最小值.

    【详解】由题意得,,解得,

    ,解得,

    ,解得,

    综上所述,

    时,

    最大,

    经检验,,故四个数互不相等,

    故实数a的取值范围为

    ABCD中最小的数为D.

    22.已知函数.

    (1)的值域;

    (2)讨论上的单调性;

    (3),证明:.

    【答案】(1)

    (2)答案见解析;

    (3)证明见解析

     

    【分析】1)利用基本不等式的性质即可求;

    2)求得解析式,令,可得,(),对a分类讨论,利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断上的单调性;

    3)由(2)可知,时,的最小值为,则,同理当时,的最小值可能是,代入即可得到.

    【详解】(1)由基本不等式,因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以的值域为

    (2),令,设

    i. ,即

    时,关于单调递减,单调递增,所以单调递减;

    时,关于单调递增,单调递增,所以单调递增;

    ii. 时,即时,令,解得

    时,关于单调递减,单调递增,所以单调递减;

    时,关于单调递减,单调递减,所以单调递增;

    时,关于单调递增,单调递减,所以单调递减;

    时,关于单调递增,单调递增,所以单调递增;

    综上可知,当时,单调递减,在单调递增;

    时,单调递减,在单调递增.

    (3)证明:i. 根据(2)的结论,时,的最小值为

    此时,,得,所以

    ii. 时,的最小值可能是,而,所以

    此时,,所以

    综上可知,当时,.

     

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