广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的准线方程是( )
A.B.C.D.
2．空间直角坐标系中A、B两点坐标分别为，，则A、B两点间距离为( )
A.2B.C.D.6
3．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
4．对于空间向量，.若，则实数( )
A.B.C.1D.2
5．两圆和的位置关系是( )
A.外离B.相交C.内切D.外切
6．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是( )
A.B.C.D.
7．如图所示，空间四边形中，，，，点M在上，且，N为中点，则等于( )
A.B.C.D.
8．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设为优美椭圆，F、A分别为它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则等于( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，分别是双曲线的左､右焦点，则下列正确的有( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.的坐标为
D.直线与双曲线有两个公共点
10．在的展开式中，下列说法错误的是( )
A.常数项是20B.第4项的二项式系数最大
C.第3项是D.所有项的系数的和为0
11．“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项.已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且.现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为X，则下列正确的有( )
A.B.C.D.
12．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系：.王同学连续两天在某高校的甲、乙两家餐厅就餐，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学( )
A.第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
三、填空题
13．计算：__________.
14．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量X表示他一次射门的命中次数，则__________.
15．已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若的中点的纵坐标为5，则__________.
16．我国南北朝时期的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，且过点，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为__________.
四、解答题
17．已知直线与的交点为P.
（1）求交点P的坐标；
（2）求过点P且平行于直线的直线方程.
18．从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）
（1）甲､乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒.
19．已知圆，点
（1）已知直线与圆C相交于A、B两点，求的长；
（2）判断点P与圆C的位置关系，并求过点P且与圆C相切的直线方程.
20．2022年11月30日7时33分，翘盼已久的神舟十四航天员乘组顺利打开“家门”热烈欢迎神舟十五的亲人入驻“天宫”.太空奇迹，源于一代代航天人的筚路蓝缕､薪火相传.为激发同学们对航天科学的兴趣，某校举办航天知识竞答，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答.小明､小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立.记高二1班答对题目的数量为随机变量X.
（1）若，求X的分布列和数学期望；
（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求p的最小值.
21．如图，在三棱柱中，平面，，，M为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
22．已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线与椭圆E相交于A、B两点，与直线相交于Q点，P是椭圆E上一点，且满足（其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线的准线方程是.故选C.
2．答案：C
解析：，B两点的坐标为，，.
故选C.
3．答案：B
解析：因为直线的方程为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.
故选B.
4．答案：D
解析：因为,所以,即,所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为圆圆心为，半径，圆圆心，半径，而，，，，两圆和相交.
故选B.
6．答案：A
解析：一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，共有种取法，其中恰有1件不合格品的取法有种取法，故恰有1件不合格品的概率是，故选A.
7．答案：B
解析：，
故选：B.
8．答案：A
解析：，，在椭圆中，，，，，，，，.
故选A.
9．答案：ABD
解析：双曲线，则，，则，，故A正确；双曲线的渐近线方程为，故B正确；左焦点，故C错误；斜率为，，则直线与双曲线有两个公共点，故D正确；故选：ABD.
10．答案：AC
解析：的展开式通项公式为，时，，常数项，故A选项错误；对于B选项，由于，故最大的二项式系数为，是第四项的二项式系数，故B选项正确；对于C选项，第3项是，故C选项错误；对于D选项，令，，故所有项的系数的和为0，故D选项正确.
故选：AC.
11．答案：BC
解析：因为服从正态分布，故，，则，故A错误；B正确；5人“50米跑的测试数据符合二项分布，即，故C正确；，故D错误；
故选BC.
12．答案：AC
解析：设：第一天去甲餐厅，：第二天去甲餐厅，
：第一天去乙餐厅，：第二天去乙餐厅，
所以，，，，因为，，所以，，所以有，因此选项A正确；
，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确.
故选：AC.
13．答案：6
解析：
14．答案：
解析：由题知，一次射门命中次数为0次或1次，，，，，.
故答案为0.21.
15．答案：13
解析：抛物线的准线方程为，设，，由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则，所以.
16．答案：
解析：设双曲线C的方程为，由题意得，解得，，则双曲线C的方程为，作直线，交双曲线C于点E，交渐近线于点D，交y轴于点P，则，，，，根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为π、高为6的柱体体积相等，故所求体积为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
解得
所以点P的坐标是.
（2）因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为，
把点P的坐标代入得得.
故所求直线的方程为.
18．答案：（1）24
（2）72
解析：（1）甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，故有种.
（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故有种.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知可知圆心到直线的距离，
圆的半径长为2，得.
（2）点在圆C外；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线：，即，
圆心到直线的距离为，解得，
此时直线方程为：，
综上可知切线的方程为或.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）X的可能取值为0，1，2，3，4，
高二1班答对某道题的概率，
则，.
；；
；；
；
则X得分布列为
则.
（2）高二1班答对某道题的概率为，
答错某道题的概率为.
则，解得，
所以p的最小值为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为平面，，平面，
所以，，而，
因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，，
，，
因为，
所以，即.
（2）设平面的法向量为，
，，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，
即，因为，
所以点到平面的距离为.
22．答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）抛物线的焦点即为椭圆E的一个顶点，
即，
离心率为，，，
，
椭圆E的方程为.
（2）设，，则直线方程代入椭圆方程，可得，
，
可得，
，，，
因为，，代入椭圆方程可得，
，
假设存在这样的T点满足条件，设，，
，，
，，
要使为定值，只需，，
在x轴上存在一点，使得.
X
0
1
2
3
4
P