广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题

这是一份广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题，共16页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，请在答题卷上答题等内容，欢迎下载使用。

（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）．
第Ⅰ卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程可得出其准线方程.
【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题.
2. 空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为（ ）
A. 2B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离
【详解】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），
∴|AB|，
故选：C．
【点睛】本题考查空间两点之间的距离公式，意在考查计算能力，是一个基础题，
3. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角.
【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率，
令直线的倾斜角为，则，
，
故选：B
4. 对于空间向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值.
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.
5. 两圆和的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切
【答案】B
【解析】
【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径差、半径和的大小关系即可判断.
【详解】因为圆的圆心，半径，
圆圆心，半径
而,，
，两圆和相交.
故选：B
6. 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案.
【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，
共有 种取法；
其中恰有1件不合格品的取法有种取法，
故恰有1件不合格品的概率是，
故选：A.
7. 如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
8. 我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设（）为优美椭圆，、分别为它的左焦点和右顶点，是短轴的一个端点，则等于（ ）
A. 90°B. 75°C. 60°D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，根据余弦定理即可求得．
【详解】∵，∴．
在椭圆中，，，，，
，，
∴，所以等于．
故选：A．
【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，以及利用余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知分别是双曲线的左､右焦点，则下列正确的有（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 的坐标为
D. 直线与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据解析式得，再结合双曲线的几何性质对选项逐一辨析即可.
【详解】双曲线，则，则，
，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，故B正确；
左焦点，故C错误；
直线斜率， ，
则直线与双曲线有两个公共点，故D正确；
故选：ABD.
10. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ）
A. 常数项是20B. 第4项的二项式系数最大
C. 第3项是D. 所有项的系数的和为0
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项式定理的通项公式和赋值法求解.
【详解】因为展开式的通项公式为；
令可得，所以常数项为，A错误；
第项的二项式系数为，由组合数的性质可知当时，取到最大值，B正确；
令可得，所以第三项为，C错误；
令可得所有项的系数的和为0，D正确.
故选：AC.
11. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且．现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正态分布的性质，二项分布的概念及期望逐一对选项进行分析即可.
【详解】因为服从正态分布，
故，，
则，故A错误，B正确；
5人“50米跑”的测试数据符合二项分布，即，故C正确；
，故D错误；
故选：BC.
12. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A. 第二天去甲餐厅概率为0.54
B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44
C. 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D. 第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
第Ⅱ卷非选择题
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 计算：__________．
【答案】6
【解析】
【分析】直接借助阶乘运算即可.
详解】,
故答案为：6.
14. 一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出期望，借助期望求方差.
【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次，
,
因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，

,
故答案为：
15. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．
【答案】13
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，，
由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，
所以．
故答案为：13
16. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点．若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_________.
【答案】
【解析】
【详解】设双曲线的方程为，由题意得，解得，则双曲线的方程为.作直线，交双曲线于点，交渐近线于点，交轴于点.则，∴，∴.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为、高为6的柱体体积相等，故所求体积为.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤．
17. 已知直线与的交点为.
（1）求交点的坐标；
（2）求过交点且平行于直线的直线方程.
【答案】(1) 点的坐标是;(2) 直线方程为.
【解析】
【详解】试题分析：（1）联立两条直线的方程得到交点坐标；（2）根据条件可设所求直线方程为，将P点坐标代入得到参数值．
解析：
（1）由解得
所以点的坐标是.
（2）因为所求直线与平行，
所以设所求直线方程为
把点坐标代入得，得.
故所求的直线方程为.
18. 从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）
（1）甲､乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒．
【答案】（1）24 （2）72
【解析】
【分析】（1）由甲､乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列，余下的两个位置需要在剩余4人中选出共有种，根据分步计数原理即可求解.
（2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有种结果，再根据分步计数原理即可求解.
【小问1详解】
甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，
故有种；
【小问2详解】
若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，
故有种．
19. 已知圆，点
（1）已知直线与圆相交于两点，求的长；
（2）判断点与圆的位置关系，并求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】（1）
（2）点在圆外，切线的方程为或
【解析】
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，再根据垂径定理进行计算，可求出结果.
（2）根据点与圆的位置关系判定可得结果，对直线斜率存在和不存在分别进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出直线方程
【小问1详解】
由已知可知圆心到直线的距离，
圆的半径长为2，得
【小问2详解】
将点代入圆的方程可得：，所以，点在圆外；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，圆心到直线距离为2，正好等于半径，
此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线：，即
圆心到直线的距离为，解得
此时直线方程为：
综上可知切线方程为或．
20. 2022年11月30日7时33分，翘盼已久的神舟十四航天员乘组顺利打开“家门”热烈欢迎神舟十五的亲人入驻“天宫”．太空奇迹，源于一代代航天人的筚路蓝缕､薪火相传．为激发同学们对航天科学的兴趣，某校举办航天知识竞答，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明､小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量．
（1）若，求的分布列和数学期望；
（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求的最小值．
【答案】（1）分布列见解析；期望为
（2）
【解析】
【分析】(1)先计算答对某道题的概率，而的可能取值为，逐一计算概率，再写分布列和数学期望；
(2)根据题意列出不等式，求解即可.
【小问1详解】
的可能取值为
高二1班答对某道题的概率
则．
则得分布列为
则
【小问2详解】
高二1班答对某道题的概率为，
答错某道题的概率为．
则，解得，
所以的最小值为．
21. 如图，在三棱柱中，平面，，，线段上一点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
【小问2详解】
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.
【点睛】
22. 已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线与椭圆E相交于A、B两点，与直线相交于Q点，P是椭圆E上一点，且满足（其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为，求出，即可求椭圆E的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论．
【详解】（1）抛物线的焦点即为椭圆E的顶点，即，
∵离心率为 ，
，
∴椭圆E的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线方程代入椭圆方程，可得
，
代入椭圆方程可得
设T（t，0），Q（﹣4，m﹣4k），
，
∴


∴要使为定值，只需

∴在x轴上存在一点T（，0），使得．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．0
1
2
3
4