初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例一课一练

这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例一课一练，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题27.28 相似三角形几何模型-A型图（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（     ）

A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
2．如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点 D．下列说法中：①∠B的余角只有∠BAD；②∠B=∠C；③线段 AB 的长度表示点 B 到直线 AC 的距离；④AB·AC=BC·AD；一定正确的有(       )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（3，3），A（0，1），B（4，1），射线PA，PB与x轴分别交于点C，D，则CD＝（　　）

A．6 B．5.5 C．4.5 D．3
5．如图，在中，点D在AB上，，交AC于点E，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC边上，，垂足为F．若，则线段EF的长为（       ）．

A．2 B．2.5 C．4 D．3
7．如图，，，，D为上一点，且，在上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则等于（       ）

A．或 B．10或 C．或10 D．以上答案都不对
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，口BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是(     )

A． B． C． D．
10．如图，在中，//，//，下列结论一定正确的是（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，若DEBC，且：：，则______．

12．如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）．

13．如图，中，，、分别是边、上的点，且与不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使，你填的条件是__________________．

14．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.

15．已知：如图，在中，、是上两点，且是等边三角形，，则的度数是________．

16．如图，已知，点D是AC的中点，，则AB的长为______．

17．如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是__________；若ME//CD，则AM的长度是___________；

18．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．

19．图，中，，在BC的延长线上截取，连接AD，过点B作于点E，交AC于点F，连接DF，点P为射线BE上一个动点，若，，当与相似时，BP的长为__________．

20．如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，连接AE，点F为AE的中点，过点F作AE的垂线分别交AD，BC于点M，N，连接AN，若，则△AMN的面积为_________．

三、解答题
21．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动．
(1 )当移动几秒时，的面积为．
(2) 设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？
(3) 当移动几秒时，与相似？





22．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法．


(1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）；
(2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程．




23．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD=∠A，求证：BC2=BD•AB
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的长．







24．如图，已知的顶点E在的边BC上，DE与AB相交于点F，，．
(1) 若，求AE；
(2) 求证：．






25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，
(1) 求证：∠CAD＝∠BCE；
(2) 当a＝时，求BE的长；
(3) 探究的值（用含a的代数式表示）．



















26．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．

(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；
(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？






















参考答案
1．D
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；
B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；
C、，即，且夹角∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；
D、，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2．C
【分析】
分别根据EF∥AB、EF∥CD及AB∥CD分别求解可得．
解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
故选C．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3．A
【分析】
根据互为余角的定义，点的线的距离就是点到线的垂线段的长度及相似三角形的判定解答即可.
解：∠B的余角有∠BAD和∠C, ①错误; ∵∠BAC=90°, ∴∠B+∠C=90°, ②错误; 点 B 到直线 AC 的距离是线段BA的长度, ③错误; ∵∠B+∠C=90°, ∠C+∠CAD=90°, ∴∠B=∠CAD, ∵∠BAC=∠ADC=90°, ∴△ABC∽△DAC, ∴ , ∴AB·AC=BC·AD,④正确.故选A.
【点拨】本题考查了互为余角的定义，点的直线的距离的概念及相似三角形的判定，关键是掌握点到直线的距离就是点到直线的垂线段得长度，而不是垂线段．
4．A
【分析】
连接AB，利用A、B坐标求出AB=4，AB∥CD，从而证得△PAB∽△PCD，利用相似三角形性质求解即可．
解：连接AB，

∵A(0,1)，B(4,1)，
∴AB=4，且AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，相似比等于AB和CD边上的高的比，即2：3．
∴AB：CD=2：3，
∵AB=4，
∴CD=6．
故选：A．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形，证△PAB∽△PCD是解题的关键．
5．D
【分析】
由BD=2AD， AB=AD+BD可得出AB=3AD，由DE //BC可得出，再利用相似三角形的性质即可得解．
解：∵BD=2AD， AB=AD+BD，
∴AB=3AD，
∵DE// BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴，
∴，
∴BC=3DE，故A项错误，
，故C项错误，

∴，故D项正确，BD=2AD，
∵C△ADE=AD+DE+AE，C四边形BDEC=BD+BC+CE+DE，
∴的值无法确定，故B项错误，
故选∶D．
【点拨】此题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．D
【分析】
证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF=6，
∴，
∴，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
7．C
【分析】
已知∠A是公共角，只需再满足或时，△ADE与△ABC相似，分别列比例式计算即可．
解：∵∠A=∠A，
①当时△ADE∽△ABC，
则，
得AE=10；

②当时△ADE∽△ACB，
则，
得；

综上分析可知，AE 等于或10，故C正确．
故选:：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定方法，分两种情况正确的作出图形，找准对应边是解题的关键．
8．C
【分析】
由勾股定理可求AC＝6，通过证明△DEB∽△CAB，可得，即可求解．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
9．D
【分析】
因为四边形BDEF是平行四边形，可判断△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可解答．
解：A ：在口BDEF中，
∵DE//BC，
∴，故本选项结论正确，不符合题意；
B ：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故本选项结论正确，不符合题意；
C：在口BDEF中，BD=EF，DE=BF，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
即，
∴，故本选项结论正确，不符合题意；
D：由题意可知：，，而，故本选项结论错误，符合题意；
故选：D
【点拨】本题主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，熟练地掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】
根据平行线分线段成比例及相似三角形的性质依次分析判断．
解：∵EG∥BD，∴，故错误；
∵//，∴，故错误；
∵FG∥AC，∴△DFG∽△DCA，∴，故错误；
∵//，//，∴，故正确；
故选：D．
【点拨】此题考查了平行线分线段成比例的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．
11．
【分析】
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：，
∽，
∴ ，
：：，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用、解题．
12．答案不唯一，如：
【分析】
根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
解：∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；

∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是；
故答案为：DB：BA=AB：BC或．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
13．或或．
【分析】
由于△ADE和△ACB有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
，使△ADE∽△ACB．
解：，
当或或，时，．
故答案是：或或．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
14．         
【分析】
三组对应边的比相等的两个三角形相似；求出可得.
解：因为，，∠AOB=∠DOE
所以⊿AOB~⊿DOE
所以
同理，,
所以
所以
故答案为(1).        (2).
【点拨】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
15．
【分析】
由可得出∠BPM=∠A,进而由等边三角形性质和角的转化可得.
解：∵
∴∠BPM=∠A,
∵是等边三角形
∴∠A+∠APN=60°，∠APN+∠MPN=60°
∴∠APB=∠BPM+∠MPN+∠APN=60°+60=120°.
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟悉换算是解决本题的关键.
16．
【分析】
首先根据点D是AC的中点，可求得AC、AD，再根据相似三角形的性质即可求得．
解：点D是AC的中点，，
，AC=4，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
17．     5     2.5
【分析】
（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的长．
解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折叠得到ΔEDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵ME//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=，
∴CF=；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：=5：4，
解得：AF=，
设AM=ME=x，则MF=-x；
∵ME//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（-x）：，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解决问题．
18．
【分析】
先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
19．或9
【分析】
先通过等腰三角形三线合一的性质得出BE垂直平分AD，可得，设，则，分别讨论当时，，当时，，根据相似三角形的性质求解即可．
解：，
，
BE垂直平分AD，
，
与相似，
或，
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，解得，
，
在中，
，
当时，，
，即，
；
当时，，
，即，
；
综上，BP的长为或9，
故答案为：或9．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
20．
【分析】
过点N作NG⊥AD于G，易得NG=AB=9，再由勾股定理求AE长，然后证△AFM∽△ADE，得，即可求出AM长，最后由S△AMN=求解即可．
解：如图，过点N作NG⊥AD于G，

∵正方形ABCD，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=9，
∵AB=3DE，
∴DE=3，
∵NG⊥AD于G，
∴四边形ABNG是矩形，
∴NG=AB=9，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AE=，
∵MN垂直平分AE，
∴∠AFM=90°，AF=AE=，
∵∠MAF=∠EAD，∠AFM=∠D=90°，
∴△AFM∽△ADE，
∴，即，
∴AM=5，
∴S△AMN=，
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质，矩形判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求出AE、AM长是解题的关键．
21．(1)2秒或4秒(2)3秒(3)当移动3秒或秒时，与相似．
【分析】
（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．
（1）解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t，由题意得：S△BPQ＝PB·BQ＝（12−2t）·4t＝＝32，解得：t1＝2，t2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；
（2）由题意得：，解得：t＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2；
（3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，则，即，解得：，②当△BPQ∽△BCA时，则，即，解得：，综上，当移动3秒或秒时，与相似．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键．
22．(1)①，③
(2)证明见分析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定可以知道②、④的剪法不能得到相似三角形．
（2）根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形即可证明．
(1)解：①剪下的角与原三角形有两个对应角相等，故两三角形相似，所以①正确；
②由题，，，，虽然，但无法确定夹角相等， 也无法确定DE与BC的比值，故 ，不相似，所以②错误．
③由题，，，，
∴，；
即，
∵是公共角．
∴
故③正确
④在，角形中有，但是无法确定，无法确定所以④错误．
故选：①，③
(2)解：①∵，
∴
根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形
∴．
解：③∵，，，，
∴，；
即，
∵是公共角．
∴
根据相似三角形的判定：两别对应成比例，夹角相等的两个三角形相似．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定定理．
23．（1）见分析；（2）
【分析】
（1）证明△BDC∽△BCA，由相似的性质可以得出．则可以得出结论．
（2）证明△ABC∽△CBD，可得，设BD=x，则AB=x+1，得出，解出方程即可得到答案．
解：（1）∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B
∴△BDC∽△BCA
∴
∴
（2）∵AB＝AC，∠BAC=36°
∴∠B＝∠ACB＝72°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A
∴∠BDC＝72°＝∠ACB
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
∵∠BDC＝∠B＝72°
∴BC=CD=1
∵∠ACD＝∠A＝36°
∴AD=BC=CD=1
设BD=x，则AB=x+1
∴
即
解得：（负值舍去）
∴
∴
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形是相似三角形是解决问题的关键．
24．(1)见详解(2)见详解
【分析】
（1）根据，，证明，然后根据相似三角形对应边成比例得到，即可得到结论；
（2）首先由，得到，然后进一步证明，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到，，然后根据两角对应相等证明，得到，然后根据线段之间的转化即可证明出．
（1）解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；
（2）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．
25．(1)证明见分析；(2)；(3)；
【分析】
（1）设AD、CE交于点F，根据同角的余角相等即可证明；
（2）过E作EH⊥BC于H，则△HEB是等腰直角三角形，设EH=x，则CH=4-x，由△ECH∽△DAC根据对应边成比例列方程求解即可解答；
（3）根据（2）的解答由△ECH∽△DAC对应边成比例，求得相似比即可解答；
(1)解：如图，设AD、CE交于点F，

∵△ACD是直角三角形，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵CE⊥AD，
∴Rt△CDF中，∠CDF+∠DCF=90°，
∵∠CDF=∠CDA，
∴∠CAD=∠BCE；
(2)解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EH⊥BC，
∴△HEB是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
设EH=x，则CH=4-x，
∵∠ECH=∠DAC，∠EHC=∠DCA=90°，
∴△ECH∽△DAC，
∴，即，
解得：x=1，
∴BE==；
(3)解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，

设EH=x，由（2）解答可得△ECH∽△DAC，，
，x=，
∴=；
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
26．(1)3，2(2)离B地（或离D地），理由见分析
【分析】
（1）通过证明，，再根据相似三角形的性质进行求解即可；
（2）由（1）得，，，设，可求出，求出x的值，即可求解．
(1)解：由题意得，，
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得；
，
，

，点F是BD的中点，
，
，
解得；
故答案为：3；2；
(2)小明站在离B点米处的位置，理由如下：
由（1）得，，，
，设，
，
，
，
，
解得，
，
所以，小明站在离B点米处的位置．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．