2022-2023学年河南省周口市太康县高一上学期1月期末质量检测数学试题（含解析）

太康县2022-2023学年高一上学期1月期末质量检测数学试题

考生注意:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间 120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册。

第I卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设或;或，则p是q的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

2. 与-2022°终边相同的最小正角是(   )

A.138° B.132° C.58° D.42°

3. 设a，b，c均为正数，且，，.则(   )

A. B. C. D.

4. 已知是定义域为的奇函数，且满足.若2，则(   )

A.2 B.0 C.-2 D.4

5.已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是(   )

A.的最小正周期为

B.

C.关于直线对称

D.将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

6. 已知，则(   )

A. B. C. D.

7. 若正数a，b满足，则的最小值是(   )

A.1 B. C.9 D.16

8.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为

其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(   )

A.15 B.40 C.25 D.130

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.下列说法正确的是(   )

A.“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题

B.“”是“”的充要条件

C.命题“，”的否定是“，”

D.若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数m的取值范围是

10. 已知，，且，下面选项正确的是(   )

A. B.或

C. D.

11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有(   )

A. B. C. D.

12. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是(   )

A.该函数解析式为

B.函数的一个对称中心为

C.函数的定义域为

D.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为.

第Ⅱ卷

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知，则__________.
14. 若幂函数为偶函数，则________.
15. 已知函数，，，如图是的部分图象，则______

16. 已知函数若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是_______________.

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

18. 已知命题，，命题，.

（1）若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.

19. 设函数.

（1）设，求函数的最大值和最小值；

（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间.

20. 已知函数，(，且).

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；

（3）求使的x的取值范围.

21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

22. 已知函数，

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的最小值以及取得最小值时x的集合.

数学参考答案及评分细则

1、答案：B

解析：根据题目可知p中x的取值范围包含q中x的取值范围.所以如果或时x不一定小于-2，所以p不是q的充分条件。反之，如果或，则或.所以p是q的必要条件.

故本题正确答案为B.

2、答案：A

解析：与-2022°终边相同的角为，，

由题意，解得，，

所以k的最小值为6，此时，故与-2020°终边相同的最小正角是138°.

故选A.

3、答案：A

解析：在同一坐标系中分别画出，，，的图象，

与的交点的横坐标为a，与的图象的交点的横坐标为b，与的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出.

4、答案：B

解析：因为是定义域为的奇函数，所以.

由，可得，

所以，.

因为，，，

所以，，，

所以

.

5、答案：D

解析：由图可知，，即，故选项A正确；

由，可得，则，

因为，即，

所以，，得，，

因为，所以，所以，故选项B正确；

由，，可得，即关于直线对称，故选项C正确；

将的图象向左平移个单位长度后得到，

所以为偶函数，图象不关于原点对称.

故选：D.

6、答案：C

解析：方法一：由题意可得，.

方法二：.

7、答案：B

解析：正数a，b满足，

当且仅当即且时取等号.

所以B选项是正确的.

8、答案：C

解析：若，则，不合题意；若，则，满足题意；若，则，不合题意.故该公司拟录用25人.

9、答案：CD

解析：是无理数，是有理数，故A错；

，时，，但，不是充要条件，故B错；

命题“，”的否定是“，”，故C正确；

若“”的一个必要不充分条件是“”，则且两个等号不同时取得，解得，故D正确.故选CD.

10、答案：ACD

解析：本题考查同角三角函数基本关系的应用.，，可得，，，解得或.，，经检验，当时，，不合题意，，此时，，.故A项正确，B项错误，C、D项正确.

11、答案：BD

解析：由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.在A中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；在B中，函数为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；在C中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；在D中，函数的大致图像如图所示，

显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”，综上，选BD.

12、答案：ABC

解析：本题考查三角公式，辅助角公式，三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质.由题意知，该函数最小正周期为，解得，即，将点代入，得到函数解析式为，选项A正确；对于选项B，代入成立，因而选项B正确；，满足，解得，从而选项C正确；，根据该函数为奇函数，知，从而得到，所以b的最小值为，故选项D错误.

13、答案：

解析：

.

14、答案：2

解析：幂函数为偶函数，，，故答案为：2.

15、答案：

解析：

.

由题图可知，即，由于点在单调递增的区间内，

所以，解得，，根据题意知，

由图象过点，则，解得，

故，则.

故答案为：.

16、答案：或

解析：依题意，在定义域内，不是单调函数.

易知，为增函数，且时，.

则或，

解得或.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）原式

（2）原式

18、答案：（1）若命题，为真命题，则，即.

所以若为真命题，则.

若命题，为真命题，

则，即.

若为真命题，则.

①当为真，q为假时，为真，即所以；

②当为假，q为真时，p为真，即无解，舍去.

综上所述，当命题和命题q有且只有一个为真命题时，a的取值范围为.

（2）解法一：①当p真q假时，为真，即所以；

②当p假q真时，为真，即所以；

③当p真q真时，无解，舍去.

综上所述，a的取值范围为或.

解法二：考虑p，q至少有一个为真命题的反面，即p，q均为假命题，

即为真，且为真，

则解得，即，

故p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围为的补集.

故a的取值范围为或.
19、

（1）答案：函数的最大值为，最小值为-3.

解析：据题，得，，

因为，，，

所以，

所以函数的最大值为，最小值为-3.

（2）答案：，增区间为

解析：据题，，

结合该函数为偶函数，得到，得，，

结合，得到，

此时，，

令，解得，

从而得到其增区间为.

20、答案：（1）使函数有意义，必须有，解得.

所以函数的定义域是.

（2）为奇函数.证明：由（1）知函数的定义域关于原点对称.

，

函数是奇函数.

（3），即.

当时，有，

解得x的取值范围是.

当时，有，

解得x的取值范围是.

综上所述，当时，x的取值范围是；

当时，x的取值范围是.

解析：

21、答案：(1)

(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

解析：(1)当时，；

当时，，

所以

(2)若，

当时，万元.

若，，

当且仅当时，即时，万元.

则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

22、

（1）答案：最小正周期是

解析：

.

最小正周期是.

（2）答案：的最小值为.取最小值时x的集合为

解析：由得，所以当，即时，

的最小值为.取最小值时x的集合为.