2023届高考数学二轮复习强化训练2复数、平面向量作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习强化训练2复数、平面向量作业含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．[2022·北京卷]若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝( )
A．1 B．5 C．7 D．25
2．[2022·山东潍坊三模]已知复数z满足(i－1)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的虚部为( )
A.－1B．1C．0D．2
3．[2022·山东淄博一模]若复数z＝eq \f(2＋i,a＋i)的实部与虚部相等，则实数a的值为( )
A．－3B．－1C．1D．3
4．[2022·河北保定二模]已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－3)，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝( )
A．3B．4C．5D．6
5．[2022·山东临沂三模]向量a＝(1，1)，b＝(－1，0)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(3π,4)D．eq \f(2π,3)
6．[2022·福建福州三模]已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝( )
A．－3B．3C．－5D．5
7．如图，在▱ABCD中，M为BC的中点，eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))＋neq \(BD,\s\up6(→))，则m＋n＝( )
A．1B．eq \f(4,3)C．eq \f(5,3)D．2
8．[2022·湖南师大附中一模]在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为( )
A．eq \f(16,5)B．eq \f(36,5)C．eq \f(46,5)D．eq \f(56,5)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)
9．[2022·山东日照二模]已知向量m＝(2，0)，n＝(1，1)，则( )
A．m∥nB．(m－n)⊥n
C．m⊥nD．|m|＝eq \r(2)|n|
10．[2022·广东广州三模]若z＋|z|＝8－4i，其中i为虚数单位，则下列关于复数z的说法正确的是( )
A．|z|＝5
B．z的虚部为－4i
C．z＝－3＋4i
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
11．[2022·山东淄博三模]已知复数z1，z2，满足|z1|·|z2|≠0，下列说法正确的是( )
A．若|z1|＝|z2|，则z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))
B．|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|
C．若z1z2∈R，则eq \f(z1,z2)∈R
D．|z1z2|＝|z1||z2|
12．[2022·山东聊城三模]在平面四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝1，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)，则( )
A.|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1
B．|eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|
C．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(BC,\s\up6(→))
D．eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2＋\r(3),2)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2022·辽宁鞍山二模]已知i为虚数单位，则eq \f(3＋i,1－i)＝________(写成最简形式).
14．[2022·河北张家口一模]已知向量a＝(－1，－2)，b＝(－x，3)，若a∥b，则x＝________．
15．[2022·广东茂名二模]已知向量a＝(t，2t)，b＝(－t，1)，若(a－b)⊥(a＋b)，则t＝________．
16．[2022·山东师范大学附中模拟]边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．
强化训练2 复数、平面向量
1．解析：方法一 由i·z＝3－4i，得z＝eq \f(3－4i,i)＝eq \f(（3－4i）·（－i）,i·（－i）)＝eq \f(－3i＋4i2,－i2)＝－4－3i，所以|z|＝eq \r(（－4）2＋（－3）2)＝5.故选B.
方法二 由i·z＝3－4i，得z＝eq \f(3－4i,i)，所以|z|＝|eq \f(3－4i,i)|＝eq \f(|3－4i|,|i|)＝eq \f(\r(32＋（－4）2),\r(02＋12))＝5.故选B.
答案：B
2．解析：∵（i－1）z＝1＋i，
∴z＝eq \f(1＋i,－1＋i)＝eq \f(（1＋i）（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝eq \f(－2i,2)＝－i，
∴z＝i，即z的虚部为1.
答案：B
3．解析：z＝eq \f(2＋i,a＋i)＝eq \f(（2＋i）（a－i）,（a＋i）（a－i）)＝eq \f(2a＋1＋（a－2）i,a2＋1)，
因为复数z＝eq \f(2＋i,a＋i)的实部与虚部相等，
所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故实数a的值为－3.
答案：A
4．解析：由题意可得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝（3，－4），所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋（－4）2)＝5.
答案：C
5．解析：由题意得：cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,\r(2))＝－eq \f(\r(2),2)，则a与b的夹角为eq \f(3π,4).
答案：C
6．解析：由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，
则b·（4a－3b）＝4a·b－3b2＝－3b2＝－3.
答案：A
7．解析：eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，而eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
故eq \(AC,\s\up6(→))＝m（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))）＋n（eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝（m－n）eq \(AB,\s\up6(→))＋（eq \f(m,2)＋n）eq \(AD,\s\up6(→))，
而eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))不共线，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－n＝1,\f(m,2)＋n＝1))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(4,3),n＝\f(1,3)))⇒m＋n＝eq \f(5,3).
答案：C
8．解析：设AD为斜边BC上的高，则圆A的半径r＝AP＝eq \f(2×4,\r(4＋16))＝eq \f(4\r(5),5)，
设E为斜边BC的中点，〈eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))〉＝θ，因为|eq \(PA,\s\up6(→))|＝eq \f(4\r(5),5)，|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，
则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝（eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))）·（eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）
＝eq \(PA,\s\up6(→))2＋eq \(PA,\s\up6(→))·（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))）
＝eq \f(16,5)＋eq \(PA,\s\up6(→))·2eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \f(16,5)＋2×eq \f(4\r(5),5)×eq \r(5)csθ＝eq \f(16,5)＋8csθ，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为eq \f(16,5)＋8＝eq \f(56,5).
答案：D
9．解析：由m＝（2，0），n＝（1，1），m－n＝（1，－1），
对于A，若m∥n，由2×1≠0×1，故A错误；
对于B，若（m－n）⊥n，则1×1＋（－1）×1＝0，符合题意，故B正确；
对于C，若m⊥n，由m·n＝2×1＋0×1＝2≠0，故C错误；
对于D，|m|＝2，|n|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故D正确．
答案：BD
10．解析：设z＝a＋bi，则|z|＝eq \r(a2＋b2)，z＋|z|＝a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝8－4i，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝8,b＝－4))，即得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝－4))，即z＝3－4i，
|z|＝eq \r(9＋16)＝5，A正确；z的虚部为－4，B错误；z＝3＋4i，C错误；z在复平面内对应的点为（3，－4），位于第四象限，D正确．
答案：AD
11．解析：对选项A，设z1＝1＋i，z2＝eq \r(2)i，则|z1|＝|z2|＝eq \r(2)，
z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝（1＋i）2＝2i，z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝（eq \r(2)i）2＝－2，不满足z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ，故A错误．
对选项B，设z1，z2在复平面内表示的向量分别为z1，z2，且z1，z2≠0，
当z1，z2方向相同时，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，
当z1，z2方向不相同时，|z1＋z2|<|z1|＋|z2|，
综上|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，故B正确．
对选项C，设z1＝1＋i，z2＝1－i，z1z2＝（1＋i）（1－i）＝2∈R，
eq \f(z1,z2)＝eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＝i∉R，故C错误．
对选项D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d≠0，
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，
则|z1z2|＝eq \r(（ac－bd）2＋（ad＋bc）2)
＝eq \r(（ac）2＋（bd）2＋（ad）2＋（bc）2)，
|z1||z2|＝eq \r(a2＋b2)·eq \r(c2＋d2)
＝eq \r(（ac）2＋（bd）2＋（ad）2＋（bc）2)＝|z1z2|，故D正确．
答案：BD
12．解析：因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|csB＝eq \f(1,2)，可得B＝eq \f(π,3)，
所以△ABC为等边三角形，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，故A正确；
因为|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，所以eq \(CD,\s\up6(→))2＝1，又eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝1，所以eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))，
得eq \(DC,\s\up6(→))2－eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))·（eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))）＝eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以AC⊥CD，则|eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|，故B正确；
根据以上分析作图如下：
由于BC与AD不平行，故C错误；
建立如上图所示的平面直角坐标系，
则B（－eq \f(1,2)，0），C（eq \f(1,2)，0），D（eq \f(1＋\r(3),2)，eq \f(1,2)），
eq \(BD,\s\up6(→))＝（eq \f(2＋\r(3),2)，eq \f(1,2)），eq \(CD,\s\up6(→))＝（eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)），
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2＋\r(3),2)，故D正确．
答案：ABD
13．解析：eq \f(3＋i,1－i)＝eq \f(（3＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq \f(3＋3i＋i＋i2,2)＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．解析：因为a∥b，所以2x＝－3，解得x＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
15．解析：因为（a－b）⊥（a＋b），所以（a－b）·（a＋b）＝0，
所以a2－b2＝0，则|a|＝|b|，所以t2＋4t2＝t2＋1，所以t＝±eq \f(1,2).
答案：±eq \f(1,2)
16．解析：如图所示：
设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，
eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝（eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))）·（eq \(PO,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))）＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－|eq \(OM,\s\up6(→))|2＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)，
当P为正方形ABCD的某边的中点时，|eq \(OP,\s\up6(→))|min＝eq \f(1,2)，
当P与正方形ABCD的顶点重合时，|eq \(OP,\s\up6(→))|max＝eq \f(\r(2),2)，
即eq \f(1,2)≤|eq \(OP,\s\up6(→))|≤eq \f(\r(2),2)，
因此，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))