2023届高考数学二轮复习1-2复数、平面向量学案含答案

第二讲　复数、平面向量

微专题1　复数

常考常用结论

1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则

(1)当b＝0时，z∈R；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．

(2)z的共轭复数＝a－bi.

(3)z的模|z|＝.

2．已知i是虚数单位，则

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.

保分题

1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝(　　)

A．－2＋4i B．－2－4i

C．6＋2i  D．6－2i

2．[2022·全国甲卷]若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　)

A．4  B．4

C．2  D．2

3．[2022·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　)

A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2

C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2

提分题

例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z＝|i－1|＋，则在复平面内z对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　)

A．∈R

B.＝

C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2

D．若z1，z2在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点)，则||＝5

听课笔记：

【技法领悟】

复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．

巩固训练1

1.[2022·山东泰安二模]已知复数z＝，i是虚数单位，则复数－4在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则(　　)

A．z可能为纯虚数

B．方程各根之和为4

C．z可能为2－i

D．方程各根之积为－20

微专题2　平面向量

常考常用结论

1．平面向量的两个定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

2．平面向量的坐标运算

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ为a与b的夹角．

(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(4)|a|＝＝.

(5)cosθ＝＝.

保分题

1.△ABC中，E是边BC上靠近B的三等分点，则向量＝(　　)

A． B．

C． D．

2．[2022·全国乙卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

3．[2022·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．

提分题

例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b B．a＋b

C．a＋b D．a＋b

(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则··的最大值为(　　)

A．4  B．7

C．8  D．11

听课笔记：

【技法领悟】

求解向量数量积最值问题的两种思路

1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．

2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．

巩固训练2

1.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)

A． B．

C． D．

2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则·的取值范围为(　　)

A．[－，2]      B．[－，4]

C．[0，2]      D．[0，4]

第二讲　复数、平面向量

微专题1　复数

保分题

1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i.故选D.

答案：D

2．解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝＝2.故选D.

答案：D

3．解析：由z＝1－2i可知＝1＋2i.由z＋a＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得解得故选A.

答案：A

提分题

[例1]　解析：(1)∵z＝|i－1|＋＝＝2＋＝i，

∴复平面内z对应的点(，－)位于第四象限．

(2)对于A，＝＝＝＝i，A错误；

对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i，∴＝－5＋i；又＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i，∴＝，B正确；

对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得：m＝－2，C正确；

对于D，由题意得：＝(2，3)，＝(－1，－1)，∴＝＝(－3，－4)，∴||＝＝5，D正确．

答案：(1)D　(2)BCD

[巩固训练1]

1．解析：z＝＝＝＝1＋i，则－4＝1－i－4＝－3－i，对应的点位于第三象限．故选C.

答案：C

2．解析：由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0，

即z2＝4或(z－2)2＝－1，

解得：z＝±2或z＝2±i，显然A错误，C正确；

各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B正确；

各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D正确．

答案：BCD

微专题2　平面向量

保分题

1．解析：因为点E是BC边上靠近B的三等分点，所以＝，

所以＝＝＝)＝.故选C.

答案：C

2．解析：将|a－2b|＝3两边平行，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.

答案：C

3．解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－.

答案：－

提分题

[例2]　解析：(1)如图所示，设＝m，＝n，且＝xa＋yb，

则＝xa＋yb＝x(n－m)＋y(n－m)＝(x＋y)n－(x＋y)m，

又因为＝n－m，

所以，解得x＝，y＝，所以＝a＋b.

故选B.

(2)如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系．因为AO＝2，所以A(0，2)，设等边三角形ABC的边长为a，则

＝＝2R＝4，所以a＝2，则B(－，－1)，C(，－1).

又因为P是该圆上的动点，所以设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈[0，2π)，

＝(－2cosθ，2－2sinθ)，＝(－－2cosθ，－1－2sinθ)，＝(－2cosθ，－1－2sinθ)，··＝－2cosθ(－－2cosθ)＋(2－2sinθ)(－1－2sinθ)＋(－－2cosθ)(－2cosθ)＋(－1－2sinθ)(－1－2sinθ)＝3＋1＋2sinθ＋2cosθ＝4＋4sin (θ＋)，因为θ∈[0，2π)，θ＋∈[)，sin (θ＋)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋)＝1时，··的最大值为8.故选C.

答案：(1)B　(2)C

[巩固训练2]

1．解析：

取AD中点N，连接MN，∵＝－2，∴AB∥CD，|AB|＝2|CD|，

又M是BC中点，∴MN∥AB，且|MN|＝(|AB|＋|CD|)＝|AB|，

∴＝＝，故选B.

答案：B

2．解析：以AB中点O为坐标原点，正方向为x，y轴可建立如图所示平面直角坐标系，

则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)，

设P(m，0)(－1≤m≤1)，∴＝(1－m，0)，＝(－m，)，

∴·＝m2－m＝(m－)2－，

则当m＝时，(·)min＝－；当m＝－1时，(·)max＝2；

∴·的取值范围为[－，2].故选A.

答案：A