第一章+第六课时+1.3.2+空间向量运算的坐标表示+课后-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

1.2.2  空间向量基本定理的初步应用

学习目标：

1．会用基底法表示空间向量．

2．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．

方法要点：

1．证明平行、共面问题的思路

（1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．

（2）利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．

2．求夹角、证明线线垂直的方法

利用数量积定义可得，求的大小，进而求得线线角，两直线垂直可

3．求距离（长度）问题的思路

选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离（长度）问题转化为向量的模的问题．

作为求夹角的特殊情况．

典型例题：

题组一  证明平行、共面问题

例1如图，已知正方体，E，F分别为和的中点．

求证：．

变式如图所示，在平行六面体中，E，F分别在和上，且．

求证：A，E，，F四点共面．

题组二  求夹角、证明垂直问题

例2如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与的夹角的余弦值．

变式在长方体中，，M，N分别是的中点．求异面直线与所成角的余弦值．

题组三  求距离（长度）问题

例3已知平面α⊥平面β，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且，，，，，则________．

变式正方体的棱长为a，，点N为的中点，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

当堂检测：

1．（多选）已知A，B，C三点不共线，O为平面外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是（    ）

A．       B．

C．      D．

2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则是（    ）

A．钝角三角形    B．锐角三角形    C．直角三角形    D．不确定

3．如图，三棱锥中，底面，则与所成角的大小为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．如图，已知中，，平面，且，则的长为________．

5．已知是空间两个向量，若，则________．

参考答案

典型例题：

例1【答案】A，E，C1，F四点共面，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】证明，

，

∴，

∴，

∵直线与没有公共点，∴．

变式证明因为

，

所以共面，

所以A，E，C1，F四点共面．

例2  【答案】（1），证明见详解；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）证明因为，

所以

，

又两两垂直，且，

所以，

故．

（2）

，

由，得．

所以．

故直线与的夹角的余弦值为．

变式：【答案】

【解析】

【分析】

【详解】，

，

所以，

又，

所以，

故异面直线与所成角的余弦值为．

例3【答案】26

【解析】

【分析】

【详解】

【解析】∵平面α⊥平面β，且，在l上有两点A，B，线段，线段，

，

∴，

∴

，

∴．

变式【答案】A

【详解】

【解析】

【解析】∵

，

∴

．

当堂检测

1．【答案】BD

【解析】

【分析】

【详解】根据“，若，则点M与点A，B，C共面”，

因为2，，

由上可知，BD满足要求．

2．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】在中，，∴B为锐角，

同理，C，D均为锐角．

3．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】因为底面，所以，所以，

又，

所以．

因此，

所以，

又，所以，

因此，

所以与所成角的大小为．

4．【答案】7

【解析】

【分析】

【详解】∵，

∴．

∴．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】将化为，求得，

再由求得．