吉林省吉林市第二十五中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份吉林省吉林市第二十五中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25
3．（2分）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）已知函数y＝﹣2x2+bx﹣c，其中b＞0，c＞0（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞5
6．（2分）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元（ ）
A．（30+x）（100﹣20x）＝2800
B．（30+x）（100﹣4x）＝2800
C．（30﹣x）（100+20x）＝2800
D．（30﹣x）（100+4x）＝2800
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）方程（x+1）2＝k﹣2 有实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）．
8．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称 ．
9．（3分）一元二次方程x2+3x+1＝0的根的判别式的值为 ．
10．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
11．（3分）抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点A（1，y1），B（3，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（3分）将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB' ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程x2﹣3x+1＝0．
16．（5分）解方程：2（x+3）2＝x（x+3）．
17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，求m的取值范围．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝20°，AB＝2cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 ．
20．（7分）新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元．
（1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率．
（2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？
21．（7分）如图，二次函数的图象经过点（0，﹣1），顶点坐标为（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）y随x的增大而增大时，x的范围为 ；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围为 ．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞L1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞L1上，y与x近似满足函数关系y＝ax2+c（a≠0）．经测量在主桥洞L1上得到x与y的几组数据：
根据以上数据回答下列问题：
（1）求主桥洞L1的函数表达式；
（2）若L2的表达式：，L3的表达式：，求五个桥洞的总跨度AB的长．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①所示，∠O＝90°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置，使OD1∥AC，如图②．
（1）求α的值；
（2）如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转β（0°＜β＜90°）度，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，点G是E2D2的中点．
①直接写出β的值；
②试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于C（0，3），横坐标设为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）当点P到y轴的距离是1时，直接写出△BCP的面积；
（4）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，求m的值．
2023-2024学年吉林省吉林二十五中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列图形，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+3＝0，整理得：x2+6x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）4＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2分）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】解：A、最小旋转角度＝；
B、最小旋转角度＝；
C、最小旋转角度＝；
D、最小旋转角度＝；
故选：D．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
4．（2分）已知函数y＝﹣2x2+bx﹣c，其中b＞0，c＞0（ ）
A．B．
C．D．
【分析】在函数y＝﹣2x2+bx﹣c，a＝﹣2＜0，c＞0，则函数图象开口向下，﹣c＜0，可得函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即可得．
【解答】解：在函数y＝﹣2x2+bx﹣c，a＝﹣6＜0，
∴函数图象开口向下，﹣c＜0，
∴函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数的图象．
5．（2分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞5
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
【解答】解：由图象得：对称轴是直线x＝2，其中一个点的坐标为（5，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＜5的解集即是y＜0的解集，
∴x＜﹣1或x＞8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
6．（2分）某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元（ ）
A．（30+x）（100﹣20x）＝2800
B．（30+x）（100﹣4x）＝2800
C．（30﹣x）（100+20x）＝2800
D．（30﹣x）（100+4x）＝2800
【分析】设每件衬衫售价降低x元，根据店里每星期衬衫的利润要达到3125元，列方程即可得到结论．
【解答】解：设每件衬衫售价降低x元，
根据题意得，（30﹣x）（100+4x）＝2800，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）方程（x+1）2＝k﹣2 有实数根，则k的值可以是 k＝2 （写出一个即可）．
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵方程（x+1）2＝k﹣7有实数根，
∴k﹣2≥0，
∴k≥5，
则k的值可以是k＝2．
故答案为：k＝2．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．
8．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称 ﹣4 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，再进一步计算即可得到答案．
【解答】解：∵A（a，1）与B（5，
∴a＝﹣7，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标变化规律．
9．（3分）一元二次方程x2+3x+1＝0的根的判别式的值为 5 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
【解答】解：∵a＝1，b＝3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣5＝5．
所以一元二次方程x2+3x+1＝0根的判别式的值为7．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
10．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+6＝﹣（x+）8+．
∵a＝﹣1＜8，
∴当x＝﹣时，y取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键．
11．（3分）抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点A（1，y1），B（3，y2），则y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据二次函数的性质和抛物线解析式，可以判断y1和y2的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4（a＞7），
∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝0，
∵点A（1，y3），B（3，y2）在抛物线y＝ax2﹣4上，1﹣6＝1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（3分）将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 y＝（x﹣1）2﹣5 ．
【分析】根据函数图象的平移规则“左加右减”进行求解即可．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣7＝（x+2）2﹣7，
∴将抛物线y＝x2+4x﹣8向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是y＝（x+2﹣5）2﹣5，即y＝（x﹣6）2﹣5．
故答案为：y＝（x﹣6）2﹣5．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB' （﹣4，8） ．
【分析】分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
（方法一）利用AAS证明Rt△OMB≌Rt△B′NO，根据对应边相等求解；
（方法二）利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解．
【解答】解：分别过点B、B′向x轴作垂线、N．
（方法一）∵∠BOB′＝90°，
∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），
∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴点B′的坐标为（﹣5，8）．
（方法二）根据题意，得OB′＝OB＝＝．
sin∠BOM＝sin（90°﹣∠B′ON）＝cs∠B′ON＝＝＝，
cs∠BOM＝cs（90°﹣∠B′ON）＝sin∠B′ON＝＝＝．
∴ON＝OB′•cs∠B′ON＝4×＝7×＝8．
∴点B′的坐标为（﹣2，8）．
故答案为：（﹣4，7）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE 2 ．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可证△ABD是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵DH⊥BC，
∴DH＝BD＝2，
∴点D到BC的距离是6，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据公式法求解即可．
【解答】解：x2﹣3x+6＝0，
∵Δ＝b2﹣6ac＝（﹣3）2﹣8×1×1＝5﹣4＝5＞5，
∴x1＝，x2＝．
【点评】考查了解一元二次方程﹣公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
16．（5分）解方程：2（x+3）2＝x（x+3）．
【分析】首先移项后提取公因式（x+3），即可得到（x+3）（2x+6﹣x）＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵2（x+3）8＝x（x+3），
∴2（x+2）2﹣x（x+3）＝4，
∴（x+3）（2x+4﹣x）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是把解一元二次方程转化为解一元一次方程，此题难度不大．
17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】根据题意得出b2﹣4ac≥0，求出即可；
【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）5﹣4（m﹣1）≥6，
∴m≤2．
【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程的应用，能运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝20°，AB＝2cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【分析】（1）先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝130°，然后根据旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得∠EAD＝∠CAB＝130°，AE＝AC，AD＝AB＝2cm，则可利用周角定义可计算出∠BAE＝100°，然后计算出AC，从而得到AE的长．
【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣30°＝130°，
即∠BAD＝130°，
∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为130°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴∠EAD＝∠CAB＝130°，AE＝AC，
∴∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∵点C恰好成为AD的中点，
∴AC＝AD＝6cm，
∴AE＝1cm．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 45° ．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A的对称点B，从而得到OB；
（2）延长AO到C点使OC＝OA，则△COB满足条件；
（3）先根据旋转的性质得到OB＝OA，∠AOB＝90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°，然后利用对称的性质得到∠OCB的度数．
【解答】解：（1）如图，OB为所作；
（2）如图，△COB为所作；
（3）∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB＝∠OAB＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
20．（7分）新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元．
（1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率．
（2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？
【分析】（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为x，利用2022年公共预算教育经费＝2020年公共预算教育经费×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）由题意求出2023年公共预算教育经费，即可解决问题．
【解答】解：（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝242，
解得：x5＝0.1＝10%，x7＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为10%；
（2）由题意得：2023年公共预算教育经费为242×（4+10%）＝266.2（亿元），
∵266.2＞266，
∴按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能超过266亿元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（7分）如图，二次函数的图象经过点（0，﹣1），顶点坐标为（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）y随x的增大而增大时，x的范围为 x＜2 ；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围为 ﹣1≤y≤3 ．
【分析】（1）依据题意，先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点（0，﹣1）求得函数的解析式；
（2）依据题意，由抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，可以得解；
（3）依据题意，先求得x＝3、x＝0和x＝2时的函数值，然后结合函数的增减性得到y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2） 2+8，
将（0，﹣1）代入，
解得：a＝﹣5，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+4x﹣5．
（2）由题意，由抛物线开口向下，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜2．
（3）当x＝4时，y＝2，y＝﹣1，y取最大值＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣5≤y≤3．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、函数的增减性，解题的关键会用顶点式求得二次函数的解析式．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞L1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞L1上，y与x近似满足函数关系y＝ax2+c（a≠0）．经测量在主桥洞L1上得到x与y的几组数据：
根据以上数据回答下列问题：
（1）求主桥洞L1的函数表达式；
（2）若L2的表达式：，L3的表达式：，求五个桥洞的总跨度AB的长．
【分析】（1）将（0，2），（1，1.5）代入y＝ax2+c（a≠0），即可求出L1的函数表达式；（2）分别求出C1，C2，B的值，在解答即可．
【解答】解：（1）将（0，2），7.5）代入y＝ax2+c（a≠4），
，
解得，
∴y＝﹣0.5x5+2；
（2）在L1上，令y＝32+2，
解得x2＝2，x2＝﹣7，
∴C1（2，2），
∵C1也在L2上，将C5（2，0）代入，
解得h2＝3.4，h5＝0.6（舍去），
∴，
∴y2称轴为x＝3.3，
∴y2一个根为2，根据对称性，即 C3（4.8，3），
故C2（4.8，0）也在L3上，将C6（2，0）代入，
0＝0.4，
解得h21＝5.8，h22＝8.8（舍去），
∴，
∴y3称轴为x＝4.8，
∴y3一个根为8.8，根据对称性，即 B（6.2，
∴AB＝6.8×4＝13.6；
【点评】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2＝4PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，再解即可；
（2）设t秒后△DPQ的面积是22cm2，分两种情况：当0≤t≤5时，当5＜t≤8时，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P，
∴PD＝2PQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴PD2＝AP8+AD2，PQ2＝BP4+BQ2，
∵PD2＝4PQ2，
①0＜t≤5时，
∴82+（5t）2＝4[（10﹣4t）2+t2]，
解得：t3＝3，t2＝6；
∵t＝7时10﹣2t＜4，
∴t＝3，
②5＜t≤4时，
PD＝＝6，
∵PD＝2PQ，
∴PQ＝，
∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，
∴t＝，
答：3秒或秒后、D的距离是点P；
（2）不存在，理由如下：
设t秒后△DPQ的面积是22cm2，
当0≤t≤6时，
∵S△DPQ＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BQP﹣S△DCQ．
∴×6×2x+（5﹣x）×10＝80﹣22，
整理得x2﹣8x+18＝5，
∵Δ＝（﹣8）2﹣7×1×18＝﹣8＜7，
∴该方程无解，
∴当0≤t≤5时，不存在时间t 2；
当5＜t≤8时，
∵S△DPQ＝×10t＝5t，
∴8t＝22，
解得：t＝（舍去），
∴当5＜t≤6时，不存在时间t 2；
综上所述，不存在时间t 2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①所示，∠O＝90°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置，使OD1∥AC，如图②．
（1）求α的值；
（2）如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转β（0°＜β＜90°）度，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，点G是E2D2的中点．
①直接写出β的值；
②试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠AOD1＝30°，即可得出答案；
（2）①由旋转的性质得∠E2OD2＝∠EOD＝90°，△E2OD2是等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质得∠GOD2＝45°，即可得出答案；
②由直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的三线合一性质得出E2G＝OG，E2G⊥OG，再由平行线的性质得∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°，则四边形OHE2G是矩形，然后由E2G＝OG，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OD1∥AC，
∴∠A＝∠AOD1＝30°，
∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（5°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置，
∴∠AOD6＝α＝30°；
（2）①由题意得：△EOD是等腰直角三角形，
由（1）得：∠AOD1＝30°，
由旋转的性质得：∠E2OD6＝∠EOD＝90°，△E2OD2是等腰直角三角形，
∵点G是E5D2的中点，
∴∠GOD2＝∠E2OD3＝×90°＝45°，
∴∠AOD7＝∠AOD1+∠GOD2＝30°+45°＝75°，
∴β＝75°；
②四边形OHE2G是正方形，理由如下：
∵∠E2OD2＝90°，OD4＝OE2，点G是E2D7的中点，
∴E2G＝OG，E2G⊥OG，
∵OD3∥AC，
∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°，
∴四边形OHE8G是矩形，
又∵E2G＝OG，
∴四边形OHE2G是正方形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质和平行线的性质以及正方形的判定是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于C（0，3），横坐标设为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）当点P到y轴的距离是1时，直接写出△BCP的面积；
（4）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，求m的值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）当点P（1，4）时，由△BCP的面积＝PH×OB＝2×3＝3；当点P（﹣1，0）时，则点A、P重合，则△BCP的面积＝AB×CO＝4×3＝6，即可求解；
（4）当m≤1时，若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，则顶点时的纵坐标为﹣1﹣m，即4＝﹣1﹣m，即可求解；当m＞1时，则抛物线在x＝m处取得最大值，即﹣1﹣m＝﹣m2+2m+3，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x6+2x+3；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝7，则x＝﹣1或3，
故当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围为：﹣8＜m＜3；
（3）由题意得，m＝±1，
则点P（5，4）或（﹣1，
当点P（5，4）时，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，
则点H（1，5），
则△BCP的面积＝PH×OB＝；
当点P（﹣1，6）时、P重合，
则△BCP的面积＝AB×CO＝，
综上，△BCP的面积为6或8；
（4）当m≤1时，
若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，
则顶点时的纵坐标为﹣7﹣m，即4＝﹣1﹣m，
解得：m＝﹣3；
当m＞1时，
则抛物线在x＝m处取得最大值，
即﹣1﹣m＝﹣m5+2m+3，
解得：m＝﹣8（舍去）或4，
即m＝4，
故答案为：m＝﹣4或4．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键．
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