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2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）3tan60°的值等于（ ）
A．1 B．32 C．3 D．3
2．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
3．（2分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
6．（2分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 ．
8．（3分）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 ．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．（3分）在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为 ．
11．（3分）如图，若反比例函数y1=kx与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＜y2时，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为 米．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC=12，AB＝10，AC＝6，则BC的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12（x﹣3）2+m与y=23（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则ABAC的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2+10x+16＝0．
16．（5分）已知反比例函数y=k-4x的图象位于第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）当反比例函数过点A（2，4），求k的值．
17．（5分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC=7．
（1）求BC；
（2）求sin∠A．
18．（5分）医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．求：恰好选中医生甲和护士A的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C＝180°，求AE的长．
20．（7分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，求k的值．
22．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线PC，使其平分线段AB，点C在线段AB上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线PD，使其分线段AB为1：3两部分，点D在线段AB上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线PE，使tan∠PEB＝1，点E在线段AB上．
五.解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
24．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．
感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是 （不需要证明）；
探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝ 度．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．
（3）当四边形PQMN为正方形时，求m的值．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发沿折线CD﹣DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，以PE，PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）CD＝ ；
（2）当点P在BD上时，求PE的长度；（用含t的代数式表示）
（3）当平行四边形PDFE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当点F落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出t的值．
2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）3tan60°的值等于（ ）
A．1 B．32 C．3 D．3
【解答】解：3tan60°=3×3=3．
故选：C．
2．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
【解答】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．（2分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△FED，AB∥ED，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OBOE=2，
∴S△ABCS△DEF=（ABDE）2＝4，
即△ABC与△DEF的面积比是：4：1．
故选：C．
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故选：A．
5．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=3，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（-3，3），
故选：A．
6．（2分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC=12AB•OB=12|x|•|y|=-12xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 （3，4） ．
【解答】解：点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
8．（3分）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 15 ．
【解答】解：∵AC∥EF∥BD，
∴AEEB=CFFD=23，
∴FD=32CF=32×6＝9，
∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．
故答案为15．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
10．（3分）在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为 12 ．
【解答】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4，
设袋子中的红球有x个，
根据题意，得：20-x20=0.4，
解得x＝12，
∴估计袋子中的红球有12个，
故答案为：12．
11．（3分）如图，若反比例函数y1=kx与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＜y2时，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜0或x＞2 ．
【解答】解：观察图象可知，当y1＜y2时，则x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．
12．（3分）如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为 6 米．
【解答】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则DEBC=ADAB，
设梯子长为x米，则x-0.6x=1.82，
解得，x＝6．
即梯子的长为6米，
故答案为：6．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC=12，AB＝10，AC＝6，则BC的长为 3+73 ．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∵cosC=12，
∴CDAC=12．
∴CD=12AC=12×6＝3．
∴AD=AC2-CD2=62-32=33．
在Rt△ADB中，
BD=AB2-AD2=100-27=73．
∴BC＝CD+BD＝3+73．
故答案为：3+73．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12（x﹣3）2+m与y=23（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则ABAC的值为 32 ．
【解答】解：抛物线y=-12（x﹣3）2+m与y=23（x+2）2+n的对称轴分别为直线x＝3与直线x＝﹣2，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为﹣5，
∴AC＝4，AB＝6，
则ABAC=64=32，
故答案为：32
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2+10x+16＝0．
【解答】解：x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0，x+8＝0，
x1＝﹣2，x2＝﹣8．
16．（5分）已知反比例函数y=k-4x的图象位于第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）当反比例函数过点A（2，4），求k的值．
【解答】解：（1）由题意，得k﹣4＞0，
解得 k＞4；
（2）把点A（2，4）代入y=k-4x得，4=k-42，
解得k＝12．
17．（5分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC=7．
（1）求BC；
（2）求sin∠A．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝4，AC=7，
∴BC=AB2-AC2=42-(7)2=3，
即BC＝3；
（2）由（1）知：BC＝3，
∵∠A＝90°，AB＝4，
∴sinA=BCAB=34，
即sinA=34．
18．（5分）医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．求：恰好选中医生甲和护士A的概率．
【解答】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为16．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C＝180°，求AE的长．
【解答】解：∵∠BDE+∠C＝180°，∠BDE+∠ADE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴AEAB=ADAC，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴AE10=48，
∴AE＝5．
20．（7分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
【解答】解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，求k的值．
【解答】解：在y＝﹣3x+6中，令y＝0，则﹣3x+6＝0，
解得x＝2，
∴C（2，0），
∴B（2，k2），
∴A（0，k2），
∵点D为AB的中点，
∴点D（1，k2），
∵点D在直线y＝﹣3x+6上，
∴k2=-3×1+6，
∴k＝6．
22．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线PC，使其平分线段AB，点C在线段AB上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线PD，使其分线段AB为1：3两部分，点D在线段AB上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线PE，使tan∠PEB＝1，点E在线段AB上．
【解答】解：（1）如图①中，射线PC即为所求；
（2）如图②中，射线PD即为所求；
（3）如图，射线PE即为所求．
五.解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵OF⊥AC，
∴AF＝FC，∵OA＝OB，
∴BC＝2OF＝2，
∵AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴BD＝BC＝2；
（2）连接OC．
∵∠CAB＝∠D＝30°，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC=3BC＝23，
∴AC的长=120⋅π⋅2180=4π3，
阴影部分的面积=120⋅π⋅22360-12×23×1=4π3-3．
24．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．
感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是 相等 （不需要证明）；
探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝ 135 度．
【解答】解：感知：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，
∴∠A'BC'+∠C'BA＝∠ABC+∠C'BA，
即∠A'BA＝∠C'BC，
又∵A'B＝AB，C'B＝BC，
∴180°-∠A'BA2=180°-∠C'BC2，
即∠A'AB＝∠C'CB，
故答案为：相等；
探究：∠A'AB＝∠C'CB，证明如下：
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，
∴BC＝BC'，BA＝BA'，∠CBC'＝∠ABA'，
∴BCBA=BC'BA'，
∴△ABA'∽△CBC'，
∴∠A'AB＝∠C'CB；
应用：∵C'B＝CB，
∴∠C'CB＝∠CC'B，
∴∠BA'A＝∠CC'B，
设C'B与AE相交于点O，
∵∠A'OB＝∠C'OE，
∴∠C'EO＝∠OBA'＝∠ACB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°＝∠C'EO，
∴∠A'EC＝180°﹣∠C'EO＝135°．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．
（3）当四边形PQMN为正方形时，求m的值．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+2＝2，则C（0，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得a•1•（﹣3）＝2，解得a=-23，
所以抛物线的解析式为y=-23（x+1）（x﹣3），即y=-23x2+43x+2；
（2）∵抛物线与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线BC的解析式为y＝px+q，
把C（0，2），B（3，0）代入得q=23p+q=0，解得p=-23q=2，
所以直线BC的解析式为y=-23x+2，
设P（m，-23m2+43m+2），则N（m，-23m+2），
∴PN=-23m2+43m+2﹣（-23m+2）=-23m2+2m，
而PQ＝1﹣m，
∴四边形PQMN周长＝2（-23m2+2m+1﹣m）=-43m2+2m+2=-43（m-34）2+114（0＜m＜1），
∴当m=34时，四边形PQMN周长有最大值，最大值为114；
（3）当0＜m＜1时，PQ＝1﹣m，
若PQ＝PN时，四边形PQMN为正方形，即-23m2+2m＝1﹣m，
整理得2m2﹣9m+3＝0，解得m1=9+574（舍去），m2=9-574，
当1＜m＜3时，PQ＝m﹣1，
若PQ＝PN时，四边形PQMN为正方形，即-23m2+2m＝m﹣1，
整理得2m2﹣3m﹣3＝0，解得m1=3-334（舍去），m2=3+334，
综上所述，当m=9-574或m=3+334时，四边形PQMN为正方形．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发沿折线CD﹣DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，以PE，PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）CD＝ 5 ；
（2）当点P在BD上时，求PE的长度；（用含t的代数式表示）
（3）当平行四边形PDFE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当点F落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出t的值．
【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝DB，
∴CD=12AB＝5，
故答案为：5．
（2）当点P在DB上时，DP＝2（t﹣2.5）＝2t﹣5，
∴AP＝AD+DP＝2t，
∵PE∥BC，
∴PEBC=APAB，
∴PE6=2t10，
∴PE=65t．
（3）如图2中，当0＜t＜2.5时，重叠部分是四边形DFEP，延长DF交AC于点T．
∵PE∥DF，PE⊥AC，
∴DT⊥AC，
∵DA＝DC，
∴AT＝TC＝4，
∴DT=CD2-CT2=52-42=3，
∵PE∥DT，
∴CPCD=CECT=PEDT，
∴2t5=CE4=PE3，
∴CE=85t，PE=65t，
∴ET＝4-85t，
∴S＝PE•ET=65t•（4-85t）=-4825t2+245t．
当2.5＜t≤5时，重叠部分是四边形DNEM，
S=12[3+35（10﹣2t）]•[4-45（10﹣2t）]=-2425t2+485t﹣18，
综上所述，S=-4825t2+245t(0＜t＜2.5)-2425t2+485t-18(2.5＜t≤5)．
（4）如图4﹣1中，当AF平分∠BAC时，过点F作FH⊥AD于点H，则△AFT≌△AFH，
∴AH＝AT＝4，FT＝FH，
设FT＝FH＝x，
在Rt△DFH中，则有（3﹣x）2＝x2+12，
∴x=43，
∴PE＝DF＝3-43=65t，
∴t=2518．
如图4﹣2中，当BF平分∠ABC时，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∵∠CBF＝∠DBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DF＝5，
∴PE＝DF＝5，
∴65t＝5，
∴t=256，
综上所述，满足条件的t的值为2518或256．
2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）3tan60°的值等于（ ）
A．1 B．32 C．3 D．3
2．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
3．（2分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
6．（2分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 ．
8．（3分）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 ．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．（3分）在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为 ．
11．（3分）如图，若反比例函数y1=kx与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＜y2时，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为 米．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC=12，AB＝10，AC＝6，则BC的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12（x﹣3）2+m与y=23（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则ABAC的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2+10x+16＝0．
16．（5分）已知反比例函数y=k-4x的图象位于第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）当反比例函数过点A（2，4），求k的值．
17．（5分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC=7．
（1）求BC；
（2）求sin∠A．
18．（5分）医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．求：恰好选中医生甲和护士A的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C＝180°，求AE的长．
20．（7分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，求k的值．
22．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线PC，使其平分线段AB，点C在线段AB上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线PD，使其分线段AB为1：3两部分，点D在线段AB上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线PE，使tan∠PEB＝1，点E在线段AB上．
五.解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
24．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．
感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是 （不需要证明）；
探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝ 度．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．
（3）当四边形PQMN为正方形时，求m的值．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发沿折线CD﹣DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，以PE，PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）CD＝ ；
（2）当点P在BD上时，求PE的长度；（用含t的代数式表示）
（3）当平行四边形PDFE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当点F落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出t的值．
2022-2023学年吉林省松原市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）3tan60°的值等于（ ）
A．1 B．32 C．3 D．3
【解答】解：3tan60°=3×3=3．
故选：C．
2．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．购买二张彩票，一定中奖
B．打开电视，正在播放极限挑战
C．抛掷一枚硬币，正面向上
D．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球
【解答】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．（2分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△FED，AB∥ED，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OBOE=2，
∴S△ABCS△DEF=（ABDE）2＝4，
即△ABC与△DEF的面积比是：4：1．
故选：C．
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故选：A．
5．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（-3，3） B．（﹣3，3） C．（-3，2+3） D．（﹣1，2+3）
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=3，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（-3，3），
故选：A．
6．（2分）如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC=12AB•OB=12|x|•|y|=-12xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是 （3，4） ．
【解答】解：点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
8．（3分）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 15 ．
【解答】解：∵AC∥EF∥BD，
∴AEEB=CFFD=23，
∴FD=32CF=32×6＝9，
∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．
故答案为15．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
10．（3分）在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同．每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为 12 ．
【解答】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4，
设袋子中的红球有x个，
根据题意，得：20-x20=0.4，
解得x＝12，
∴估计袋子中的红球有12个，
故答案为：12．
11．（3分）如图，若反比例函数y1=kx与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＜y2时，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜0或x＞2 ．
【解答】解：观察图象可知，当y1＜y2时，则x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．
12．（3分）如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为 6 米．
【解答】解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则DEBC=ADAB，
设梯子长为x米，则x-0.6x=1.82，
解得，x＝6．
即梯子的长为6米，
故答案为：6．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC=12，AB＝10，AC＝6，则BC的长为 3+73 ．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∵cosC=12，
∴CDAC=12．
∴CD=12AC=12×6＝3．
∴AD=AC2-CD2=62-32=33．
在Rt△ADB中，
BD=AB2-AD2=100-27=73．
∴BC＝CD+BD＝3+73．
故答案为：3+73．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12（x﹣3）2+m与y=23（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则ABAC的值为 32 ．
【解答】解：抛物线y=-12（x﹣3）2+m与y=23（x+2）2+n的对称轴分别为直线x＝3与直线x＝﹣2，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为﹣5，
∴AC＝4，AB＝6，
则ABAC=64=32，
故答案为：32
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2+10x+16＝0．
【解答】解：x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0，x+8＝0，
x1＝﹣2，x2＝﹣8．
16．（5分）已知反比例函数y=k-4x的图象位于第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）当反比例函数过点A（2，4），求k的值．
【解答】解：（1）由题意，得k﹣4＞0，
解得 k＞4；
（2）把点A（2，4）代入y=k-4x得，4=k-42，
解得k＝12．
17．（5分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC=7．
（1）求BC；
（2）求sin∠A．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝4，AC=7，
∴BC=AB2-AC2=42-(7)2=3，
即BC＝3；
（2）由（1）知：BC＝3，
∵∠A＝90°，AB＝4，
∴sinA=BCAB=34，
即sinA=34．
18．（5分）医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．求：恰好选中医生甲和护士A的概率．
【解答】解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为16．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C＝180°，求AE的长．
【解答】解：∵∠BDE+∠C＝180°，∠BDE+∠ADE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴AEAB=ADAC，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴AE10=48，
∴AE＝5．
20．（7分）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
【解答】解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，求k的值．
【解答】解：在y＝﹣3x+6中，令y＝0，则﹣3x+6＝0，
解得x＝2，
∴C（2，0），
∴B（2，k2），
∴A（0，k2），
∵点D为AB的中点，
∴点D（1，k2），
∵点D在直线y＝﹣3x+6上，
∴k2=-3×1+6，
∴k＝6．
22．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画一条以P为端点的射线PC，使其平分线段AB，点C在线段AB上；
（2）在图②中画一条以P为端点的射线PD，使其分线段AB为1：3两部分，点D在线段AB上；
（3）在图③中画一条以P为端点的射线PE，使tan∠PEB＝1，点E在线段AB上．
【解答】解：（1）如图①中，射线PC即为所求；
（2）如图②中，射线PD即为所求；
（3）如图，射线PE即为所求．
五.解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵OF⊥AC，
∴AF＝FC，∵OA＝OB，
∴BC＝2OF＝2，
∵AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴BD＝BC＝2；
（2）连接OC．
∵∠CAB＝∠D＝30°，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC=3BC＝23，
∴AC的长=120⋅π⋅2180=4π3，
阴影部分的面积=120⋅π⋅22360-12×23×1=4π3-3．
24．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．
感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是 相等 （不需要证明）；
探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝ 135 度．
【解答】解：感知：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，
∴∠A'BC'+∠C'BA＝∠ABC+∠C'BA，
即∠A'BA＝∠C'BC，
又∵A'B＝AB，C'B＝BC，
∴180°-∠A'BA2=180°-∠C'BC2，
即∠A'AB＝∠C'CB，
故答案为：相等；
探究：∠A'AB＝∠C'CB，证明如下：
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，
∴BC＝BC'，BA＝BA'，∠CBC'＝∠ABA'，
∴BCBA=BC'BA'，
∴△ABA'∽△CBC'，
∴∠A'AB＝∠C'CB；
应用：∵C'B＝CB，
∴∠C'CB＝∠CC'B，
∴∠BA'A＝∠CC'B，
设C'B与AE相交于点O，
∵∠A'OB＝∠C'OE，
∴∠C'EO＝∠OBA'＝∠ACB，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°＝∠C'EO，
∴∠A'EC＝180°﹣∠C'EO＝135°．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的函数关系式．
（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．
（3）当四边形PQMN为正方形时，求m的值．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+2＝2，则C（0，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得a•1•（﹣3）＝2，解得a=-23，
所以抛物线的解析式为y=-23（x+1）（x﹣3），即y=-23x2+43x+2；
（2）∵抛物线与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线BC的解析式为y＝px+q，
把C（0，2），B（3，0）代入得q=23p+q=0，解得p=-23q=2，
所以直线BC的解析式为y=-23x+2，
设P（m，-23m2+43m+2），则N（m，-23m+2），
∴PN=-23m2+43m+2﹣（-23m+2）=-23m2+2m，
而PQ＝1﹣m，
∴四边形PQMN周长＝2（-23m2+2m+1﹣m）=-43m2+2m+2=-43（m-34）2+114（0＜m＜1），
∴当m=34时，四边形PQMN周长有最大值，最大值为114；
（3）当0＜m＜1时，PQ＝1﹣m，
若PQ＝PN时，四边形PQMN为正方形，即-23m2+2m＝1﹣m，
整理得2m2﹣9m+3＝0，解得m1=9+574（舍去），m2=9-574，
当1＜m＜3时，PQ＝m﹣1，
若PQ＝PN时，四边形PQMN为正方形，即-23m2+2m＝m﹣1，
整理得2m2﹣3m﹣3＝0，解得m1=3-334（舍去），m2=3+334，
综上所述，当m=9-574或m=3+334时，四边形PQMN为正方形．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是AB中点，连接CD，动点P从点C出发沿折线CD﹣DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，以PE，PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）CD＝ 5 ；
（2）当点P在BD上时，求PE的长度；（用含t的代数式表示）
（3）当平行四边形PDFE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当点F落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出t的值．
【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝DB，
∴CD=12AB＝5，
故答案为：5．
（2）当点P在DB上时，DP＝2（t﹣2.5）＝2t﹣5，
∴AP＝AD+DP＝2t，
∵PE∥BC，
∴PEBC=APAB，
∴PE6=2t10，
∴PE=65t．
（3）如图2中，当0＜t＜2.5时，重叠部分是四边形DFEP，延长DF交AC于点T．
∵PE∥DF，PE⊥AC，
∴DT⊥AC，
∵DA＝DC，
∴AT＝TC＝4，
∴DT=CD2-CT2=52-42=3，
∵PE∥DT，
∴CPCD=CECT=PEDT，
∴2t5=CE4=PE3，
∴CE=85t，PE=65t，
∴ET＝4-85t，
∴S＝PE•ET=65t•（4-85t）=-4825t2+245t．
当2.5＜t≤5时，重叠部分是四边形DNEM，
S=12[3+35（10﹣2t）]•[4-45（10﹣2t）]=-2425t2+485t﹣18，
综上所述，S=-4825t2+245t(0＜t＜2.5)-2425t2+485t-18(2.5＜t≤5)．
（4）如图4﹣1中，当AF平分∠BAC时，过点F作FH⊥AD于点H，则△AFT≌△AFH，
∴AH＝AT＝4，FT＝FH，
设FT＝FH＝x，
在Rt△DFH中，则有（3﹣x）2＝x2+12，
∴x=43，
∴PE＝DF＝3-43=65t，
∴t=2518．
如图4﹣2中，当BF平分∠ABC时，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∵∠CBF＝∠DBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DF＝5，
∴PE＝DF＝5，
∴65t＝5，
∴t=256，
综上所述，满足条件的t的值为2518或256．
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