2022-2023学年四川省泸州市龙马高中高二上学期第二次月考数学（文）试题

泸州市龙马高中高2021级2022年秋期第二次学月考试

数学（文科）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．椭圆的长半轴长a＝（）

A．11 B．7 C．5 D．2

2．若直线l：x＋2y－1＝0与直线m：2x＋ay－1＝0平行，则实数a的值为（）

A．－2 B．4 C．2 D．

3．已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（）

A． B． C． D．

4．已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为，回归直线方程为，若，（O为坐标原点），则（）

A． B． C．2 D．5

5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．月接待游客量逐月增加

6．执行下面的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）

A．2 B．4 C．3 D．5

7．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：

甲：21、22、23、25、28、29、30、30；

乙：14、16、23、26、28、30、33、38．

则下列描述合理的是（）

A．甲队员每场比赛得分的平均值大 B．乙队员每场比赛得分的平均值大

C．甲队员比赛成绩比较稳定 D．乙队员比赛成绩比较稳定

8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A． B． 

C． D．

9．已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）

A．22 B．5 C．4 D．－5

10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（）

A． B． C． D．6

11．，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（）

A． B． C． D．

12．已知点，，圆，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线，则C的渐近线方程为______．

14．抛物线的焦点到直线x＋y－3＝0的距离为______．

15．在三棱锥P－ABC中，，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______．

16．如图，某公园内有一个边长为20m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，点M到AB的距离是6m，到BC的距离是8m，现过点M建一条直路交正方形区域两边于点P和点Q，若对△PBQ区域进行绿化，则此绿化区域面积的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线交于A，B两点，，求m的值．

18．已知函数，．

（1）若的解集为，求a的值；

（2）求关于x的不等式的解集．

19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数；

（2）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

20．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，．

（1）求C的方程；

（2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM＝∠OPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．

21．如图，在四棱锥P－ABCD中，，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，，M是PC的中点．

（1）证明：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求三棱锥M－PAB的体积．

22．已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点M．

（1）求曲线C的方程；

（2）求△ABM面积的最大值．

泸州市龙马高中高2021级2022年秋期第二次学月考试

数学（文科）试题参考答案

一、单选题

1．C2．B3．C4．A5．D6．B7．C8．A9．D10．A11．C

12．【答案】D

解：设点，由可得

化简得即点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，

因为点P在圆上，所以圆O和C有公共点，

所以，

，又，所以

二、填空题

13．14．15．【答案】．

16．【答案】96

【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，可得，设，，直线方程为，，利用基本不等式可得答案．

【详解】如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，

则，根据题意可得直线PQ的斜率存在，设，，则直线方程为，

所以，且，所以，

当且仅当，即a＝3，b＝16时等号成立，

所以，则此绿化区域面积的最小值为．

故答案为：96．

三、解答题

17．【详解】（1）由题意，设圆心为，又与y轴相切于点，故2a＝2，即a＝1，

所以，且半径r＝a＝1，故圆C的方程为．

（2）由（1）及题意，如下图示：，∠ACB＝120°，故C到直线l的距离为，

所以，可得．

18．（1）若的解集为，则和1是的两个根，

则，解得a＝2；

（2）由得，即，

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式可化为，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为

19．解（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.17，0.20，0.30，0.25，0.08，

这组数据的平均数为：；

（2）方案①收入：（元）；

方案②：低于350克的芒果收入为（元）；

不低于350克的芒果收入为（元）；

故方案②的收入为（元）

由于，所以选择方案②获利多．

20．（1）当l与x轴垂直时，由题意易得，

从而，解得p＝1，

所以C的方程为；

（2）设，，，由题可知直线l斜率不为零，

设，代入抛物线方程消去x，得，

从而，，①

由∠OPM＝∠OPN可得

将①代入上式，得恒成立，

所以，

因此存在点P，且满足题意，P点坐标为．

21．（1）取PD中点N，连接MN，AN，

因为PA＝AD，所以AN⊥PD，

由AB⊥平面PAD，平面PAD，所以AB⊥PD，

又由，且AN，平面ABN，所以PD⊥平面ABN，

因为MN是△PCD中位线，所以，

四边形ABMN是平行四边形，于是PD⊥平面ABM，平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD

（2）由（1）可得，且平面PAB，所以平面PAB，

所以，

因为AB⊥平面PAD，可得，

又由，，AN⊥PD，

所以，，

所以．

22．【详解】（1）设曲线C上的任意一点的坐标为，

由题意，得，即，所以曲线C的方程为；

（2）由题意，设直线AB的方程为，，，则．

联立方程得，则，

所以，，所以．

又因为，所以直线PB的方程为．

令，则，

所以，．

因为，

所以．

令，，则．

又因为在上单调递减，所以当时，，

故△ABM面积的最大值为．