2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二上学期12月月考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二上学期12月月考试数学（文）试题

一、单选题

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）

A．（0，1） B．（1，0） C． D．

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.

【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.

故选：C．

2．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为

A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7

【答案】B

【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．

【详解】由茎叶图得：

∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，

∴65＝60+y，解得y＝5，

∵平均值也相等，

∴，

解得x＝3．

故选B．

【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．已知且，下列不等式正确的是（ ）

A． B． C．a-b>0 D．a+b>0

【答案】C

【解析】根据不等式性质一一判断即可.

【详解】A选项：当时，故错误；

B选项：当时，故错误；

C选项：成立，故正确；

D选项：当时，故错误

故选：C

4．在如图所示的程序框图中，如果输入的，那么输出的i等于（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】根据程序框图逐次计算每次判断的奇偶性前各变量的值，结合的值判断循环何时终止，从而得到输出的的值.

【详解】解：由框图知：

第一次判断为奇偶性前，，；

第二次判断为奇偶性前，，；

第三次判断为奇偶性前，，；

第四次判断为奇偶性前，，；

第五次判断为奇偶性前，，；

第六次判断为奇偶性前，，；

此时判断，终止循环输出.

故选：C.

5．若x，y满足约束条件，z=2x-3y的最大值为（    ）

A．9 B．6 C．3 D．1

【答案】A

【解析】画出不等式组表示的可行域，数形结合即可求解.

【详解】作出可行域：

由得，它表示斜率为纵截距为的直线，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大，此时，，

故选：A

6．已知直线和直线互相平行，则（    ）

A．1 B． C． D．0

【答案】C

【分析】根据两直线互相平行斜率相等可得答案.

【详解】由，解得，经检验均满足题意.

故选：C.

7．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（    ）

A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1

【答案】C

【分析】化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

直线的一般方程为

则由已知得，

解得或

故选：C.

8．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线的两条渐近线互相垂直，即可求得双曲线的渐近线方程为，然后可以求得右焦点坐标，最后利用点到直线距离公式即可求解.

【详解】∵双曲线的两条渐近线互相垂直，

∴双曲线的两条渐近线的斜率为，

∴双曲线的渐近线方程为，

又∵，，∴，∴，即右焦点的坐标为，

则右焦点到渐近线的距离为.

故选：.

9．已知圆：和定点，若过点可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把圆的方程化为标准方程，由过点可以作两条直线与圆相切，可知点在圆外，列出不等式即可得到的取值范围.

【详解】圆：化为标准方程：，

过点可以作两条直线与圆相切，

点在圆外，将点代入圆方程得：，

（舍去）或，

的取值范围是.

故选：D.

10．设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（    ）

A．8 B．4 C．2 D．1

【答案】D

【分析】由双曲线的离心率为可得①，又因为．若的面积为4，设在双曲线的上半支，，则有，整理化简得，结合①，即可求得的值.

【详解】解：因为双曲线的离心率为，

所以，即有①，

又因为，的面积为4，

由对称性，设在双曲线的上半支，，

则有，

所以，

即，

由①可得，

所以，

解得.

故选：D.

11．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.

【详解】由抛物线方程知：；

设，，，

则；

为的重心，，则，

.

故选：C.

12．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为

A． B． C．或 D．

【答案】A

【详解】分析：根据向量共线定理及，，可推出，的值，再根据过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），可推出，两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线的方程，即可求得点的坐标，从而可得，，三者关系，进而可得椭圆的离心率.

详解：∵、、三点共线，

∴

又∵

∴或

∵

∴

∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）

∴，

∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点

∴直线的方程为为

∴

∵

∴，即.

∴，即.

∴

∵

∴

故选A.

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．

二、填空题

13．已知直线过抛物线：的焦点，则______．

【答案】

【分析】根据直线过抛物线的焦点，可确定抛物线的焦点坐标，即可求得答案.

【详解】因为直线与轴交点坐标为 ，

又过抛物线的焦点，则即为抛物线的焦点，

所以，故，

故答案为：3.

14．已知，，且，则的最小值为______.

【答案】4

【分析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.

【详解】∵，即，

∴

又∵，，∴，当且仅当且，

即，时，等号成立，则的最小值为4.

故答案为：.

15．圆心为的圆C与x轴交于、两点，则圆C的方程为_________.

【答案】

【分析】根据坐标得到圆的圆心在直线上，即可得到圆心坐标，然后求半径即可得到圆的方程.

【详解】由题意得的中垂线方程为，则圆的圆心在直线上，所以，圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为.

故答案为：.

16．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为1，则球的表面积为___________.

【答案】

【分析】设为正三角形ABC的中心，则⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在上，在Rt△中利用勾股定理求出SA的长，再在Rt△中利用勾股定理即可求出R的值，从而得到球O的表面积．

【详解】如图所示：

设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在上，

设球的半径为R，连接AO，，

∵△ABC的边长为，

∴，

又∵，

∴在Rt△中，，

在Rt△中，OA＝R，，，

∴，解得：，

∴球O的表面积为．

故答案为：．

三、解答题

17．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计月均用电量的众数；

(2)求a的值；

(3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，月均用电量不高于平均数的为第一档，高于平均数的为第二档，已知某户居民月均用电量为，请问该户居民应该按那一档电价收费，说明理由.

【答案】(1)175

(2)0.004

(3)该居民该户居民应该按第二档电价收费，理由见解析

【分析】（1）在区间对应的小矩形最高，由此能求出众数；

（2）利用各个区间的频率之和为1，即可求出值；

（3）求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.

【详解】（1）由题知，月均用电量在区间内的居民最多，可以将这个区间的中点175作为众数的估计值，所以众数的估计值为175.

（2）由题知：，解得

则的值为0.004.

（3）平均数的估计值为：

，

则月均用电量的平均数的估计值为，

又∵

∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.

18．已知的顶点，边上的高所在直线为，D为中点，且所在直线方程为．

（1）求顶点B的坐标；

（2）求边所在的直线方程，（请把结果用一般式方程表示）．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）联立直线的方程，求出点坐标；

（2）设，由，求出点，利用坐标求直线的斜率，再用点斜式求直线方程.

【详解】由及边上的高所在直线为，

得所在直线方程为

又所在直线方程为

由，得.

（2）设，又，为中点，则，

由已知得，得，

又得直线的方程为.

19．已知函数.

（1）解不等式：；

（2）当时，求的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值是3.

【解析】（1）把化为，解不等式即可；

（2）利用均值不等式求最值.

【详解】（1）由，得，又，解之得：或.

即原不等式的解集为；

（2）当时，.

当且仅当时，即或0(舍)时，“=”成立.

所以的最小值是3.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

20．如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形.

(1)证明：平面平面.

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据等边三角形的性质、线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）利用余弦定理，结合三棱锥的等积性进行求解即可.

【详解】（1）证明：设，因为是等边三角形，且，

所以是的中点，则.

又，所以，所以，

即.

又平面平面，

所以.

又，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）解：因为，所以.

在中，，

所以，则

又平面，所以.

如图，连接，则，

所以.

设点到平面的距离为，因为，

所以，

解得，即点到平面的距离为.

21．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.

(1)求p的值;

(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）抛物线定义知|，则 ，求得x0=2p，代入抛物线方程， ；

（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，

当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率 ，直线BM的斜率 ， ．

当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得 ，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数．

【详解】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,

又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.

(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.

当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),

则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.

当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.

设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).

联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,

所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.

综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．

22．设为坐标原点，过椭圆：的左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)求面积的取值范围；

(3)是否存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据条件直接列关于的方程求解即可；

（2）设直线的方程为，，联立方程，然后利用韦达定理表示出，利用对勾函数的性质求其最值即可；

（3）先假设存在，然后由（2）利用韦达定理及向量的坐标运算求出，进而可得结论.

【详解】（1）由已知得，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，，

联立，消去得，

则

令，，则，

当，

由对勾函数的性质可知在上单调递增，

，

则，

面积的取值范围为；

（3）假设存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足，

设为，

则由（2）得

，，

，

解得，此时直线的方程为，其斜率不存在.

故不存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足.