2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．下面四个选项中一定能得出平面平面的是（    ）

A．存在一条直线a，，

B．存在一条直线a，，

C．存在两条平行直线a，b，，，，

D．存在两条异面直线a，b，，，，

【答案】D

【分析】对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面，再证即可.

【详解】如图，是长方体，平面ABCD为平面，平面ABB1A1为平面，

对于A，直线C1D1为直线a，显然，，而与相交，A不正确；

对于B，直线CD为直线a，显然，，而与相交，B不正确；

对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然，，，，而与相交，C不正确；

对于D，因a，b是异面直线，且，，过直线a作平面，如图，

则c//a，并且直线c与b必相交，而，于是得，又，即内有两条相交直线都平行于平面，因此，平面平面.

故选：D

2．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当 时的值为（    ）

A．5 B．14 C．27 D．55

【答案】B

【分析】把多项式改写成用加（减）法和乘法形式，然后根据定义依次计算可得．

【详解】由已知

，

时，，，．

故选：B．

3．下列各数中与1010（4）相等的数是（　　）

A．76（9） B．103（8） C．2111（3） D．1000100（2）

【答案】D

【分析】把所给的数化为“十进制”数即可得出．

【详解】1010（4）＝1×43+0×42+1×41+0×40＝68（10）．

对于D：1000100（2）＝1×26+1×22＝68（10）．

∴1010（4）＝1000100（2）．

故选D．

【点睛】本题考查了不同数位进制化为“十进制”数的方法，属于基础题．

4．2019年某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则等于（    ）

A．100 B．200 C．120 D．400

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分层抽样方法列式计算作答.

【详解】依题意，，解得，

所以等于120.

故选：C

5．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】模拟程序运算即可求解

【详解】；

；

；

；

；

不满足，输出，

故选：B

6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内的日产量数据（单位：箱）.已知这两组数据的平均数分别为，，若这两组数据的中位数相等，则（    ）

A． B．

C． D．，的大小关系不确定

【答案】C

【分析】由中位数与平均数的概念求解，

【详解】由题意得两组数据的中位数为83，则，

则，，

故选：C

7．如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示：

经计算知，对的线性回归方程是，预测当时，（    ）A．47.5 B．48 C．49 D．49.5

【答案】B

【分析】根据线性回归方程过样本中心点，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为，

所以样本中心点为，代入中，得，

即，当时，，

故选：B

8．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从盒子中随机取出两个球，所取球的编号分别记为，，则“”的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，所取球的编号分别为，，

{，}的可能结果有，，，，，共6个，

其中满足 “”的有共2个，

所以“”的概率,

故选：C

9．《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别计算铜钱圆的面积以及正方形孔的面积，再利用几何概型求概率.

【详解】直径为的圆的面积 ,边长为的正方形的面积为，则油正好落入孔中而钱不湿的概率为.

故选：D

10．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩.已知六个裁判为某一运动员这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分.设这六个原始分的中位数为，方差为；四个有效分的中位数为，方差为.则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】中位数就是一组数按照大小排列好后的最中间的数，方差表示一组数据波动的大小的数，先求出平均数，再代入方差公式可判断.

【详解】将打分95，95，95，93，94，94按照从小到大排列为93,94,94,95,95,95，

无论是否去掉一个最高分和最低分中位数都是，故AB错误；

根据

；

又

故选：D.

11．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2，

设圆心到直线ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得，

解得d=0，即

直线ax﹣by+2=0经过圆心，

∴﹣a﹣2b+2=0，

∴a+b=1，

∴（）（a+b）=+1++≥+2=+，当且仅当a=b时等号成立，

故式子的最小值为+.

故选C．

12．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】取AB的中点Q，证明平面平面得动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．然后计算△MQC的面积即可．

【详解】取AB的中点Q，连接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分别为，，AB的中点可得，平面，平面，

所以平面，同理得平面，，平面，则平面平面，

所以动点P的轨迹为△MQC及其内部（挖去点M）．

在正三棱柱中，△ABC为等边三角形，Q为AB的中点，则，

平面平面，平面平面，则CQ⊥平面，平面，

所以．

因为，所以，

因为侧棱长是6，所以．

所以，则△MQC的面积，

故动点P的轨迹面积为．

故选：C

【点睛】结论点睛：本题考查空间点的轨迹问题，空间点的轨迹几种常见情形：

（1）平面内到空间定点的距离等于定长，可结合球面得轨迹；

（2）与定点的连线与某平面平行，利用平行平面得点的轨迹；

（3）与定点的连线与某直线垂直，利用垂直平面得点的轨迹；

（4）与空间定点连线与某直线成等角，可结合圆锥侧面得轨迹；

二、填空题

13．在空间直角坐标系Oxyz（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则____________．

【答案】

【分析】先求解对称点坐标，利用空间中两点的距离公式，求解即可.

【详解】由题意，点关于x轴的对称点为点，

故.

故答案为：

14．若点在圆的外部，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由于点在圆的外部，圆的半径需大于0，将点代入圆的方程列出不等式，即可求出实数的取值范围.

【详解】解：圆的标准方程为，

则，

若点在圆的外部，则，

综上所述，实数的取值范围为，

故答案为：.

15．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．

【答案】2

【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.

【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，

如图，设，，切线长．

故答案为：2

16．现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是______.

【答案】

【分析】根据圆锥底面圆的周长，等于以母线为半径的半圆的周长，求出母线与半径的关系，当圆锥里面的小球与圆锥相切时体积最大，轴截面是三角形与内切圆的关系.

【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为，底面半径为，则，所以，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为，又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：

设此时小球半径为，则有，即，

故，，

所以，

故答案为：

三、解答题

17．求下列直线方程：

(1)求过点，斜率是3的直线方程.

(2)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用直线点斜式方程直接求解即可；

（2）利用直线斜截式方程，结合代入法进行求解即可.

【详解】（1）因为直线过点，且斜率是3，

所以该直线方程为；

（2）因为直线在轴上截距为2，

所以该直线方程为，又因为该直线过点，

所以有，

18．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻. 为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；

(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；

(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽取多少人？

【答案】(1)

(2)中位数为73，平均数为72

(3)12,10,2

【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案.

（2）直接利用平均数和中位数的公式计算即可.

（3）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.

【详解】（1），解得.

（2），故中位数为.

平均数为.

（3），

[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽人数分别为：

，，.

19．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者.某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）的数据统计如下：

通过对察散点图，发现日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）有线性相关关系.

(1)求线性回归直线方程；

(2)试预测日垃圾分拣量80千克，需要的垃圾分类志愿者人数.

参考公式：，.

【答案】(1)

(2)9人

【分析】（1）由题中数据与参考公式求解，

（2）代入回归方程求解，

【详解】（1），，

，

，

所以，

.

所以回归方程是；

（2）当时，，解得.

所以需要的垃圾分类志愿者人数是9人

20．已知直线l：.

（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）将直线方程整理得到，求出直线所过定点，即可证明结论成立；

（2）根据直线的特征，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（1）直线l为，

即，

，解得，

不论a为何值，直线l总过第一象限的点，

即直线l过第一象限；

（2）因为直线的斜率显然存在，

又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，

所以斜率只能为正，且直线与轴不能交于正半轴；

因此；解得，

的取值范围是.

21．如图四棱锥中，四边形为等腰梯形，，平面平面，，，，．

(1)证明：平面；

(2)若在线段上，且，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据题意结合余弦定理可求得，由勾股定理可证，结合线面垂直的判定定理可证；

（2）根据题意结合面面垂直的性质定理可得平面，利用锥体的体积公式运算求解.

【详解】（1）∵四边形为等腰梯形，且，

∴，

又∵，则，即，

∴，则，即，

又∵，，平面，

∴平面.

（2）∵，平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

由题意可得：为等腰直角三角形，则，

又∵，

∴三棱锥的体积.

22．在平面直角坐标系中，已知圆及点，.

(1)若直线平行于，与圆相交于，两点，且，求直线的方程；

(2)对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）由已知设直线的方程为，由及弦长公式求得得到直线方程；

（2）求出的轨迹是一个圆，由条件知此圆与圆B要有公共点，列出半径与满足的不等式，视为对任意恒成求得的范围，同时注意点这一条件的制约，最终求得的范围.

【详解】（1）圆的标准方程为，所以，半径为2，其中，因为平行于，所以设直线的方程为，

则圆心到直线的距离，因为，

解得或，所以直线的方程为或；

（2）设点，，，由于点是线段的中点，则，又在半径为的圆上，

所以，即，

所以的轨迹为是以为圆心，为半径的圆，

 又在半径为的圆上，

所以两圆有公共点，所以对恒成立，

又，所以且，解得，

又在圆外，所以恒成立，

所以，即，所以圆的半径的取值范围为.